Question

12．如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知$AE=\sqrt{2}c$，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如$a{x^2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．若x=-1是“勾系一元二次方程”$a{x^2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長是$6\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 利用根的意義和勾股定理作為相等關(guān)系先求得c的值，根據(jù)完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積．

解答 解：當(dāng)x=-1時(shí)，有a-$\sqrt{2}$c+b=0，即a+b=$\sqrt{2}$c
∵2a+2b+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，即2（a+b）+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，
∴3$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，
∴c=2，
∴a²+b²=c²=4，a+b=2$\sqrt{2}$，
∵（a+b）²=a²+b²+2ab，
∴ab=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=1．

點(diǎn)評 此類考查了勾股定理的證明，讀懂題意，根據(jù)題目中所給的材料結(jié)合勾股定理和根的判別式解題是解答此題的關(guān)鍵．