Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．
（1）用直尺和圓規(guī)作△ABC的內(nèi)切圓⊙O（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）求∠BOC的度數(shù)和⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：

分析：（1）作出△ABC的角平分線的交點(diǎn)就是O，然后作OD⊥BC于點(diǎn)D，以O(shè)為圓心，以O(shè)D為半徑作圓即可；
（2）根據(jù)內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，利用三角形的內(nèi)角和定理求解．

解答：解：（1）如圖所示：⊙O就是所求的圓；

（2）∵在直角△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵O是△ABC的內(nèi)心，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC=30°，∠OCB=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠BOC=180°-30°-45°=105°．
∵在直角△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，AC=

AB2-BC2

=

42-22

=2

3

．
∴⊙O的半徑是：

2+2 3 -4

2

=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了尺規(guī)作圖，三角形的內(nèi)心是三角形的角平分線的交點(diǎn)，到三角形的三邊的距離相等．