Question

【題目】如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD，CD．

（1）求證：BD=CD；
（2）請判斷B，E，C三點是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD為直徑，AD⊥BC，
∴
∴BD=CD
（2）解：B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．
理由：由（1）知： ，
∴∠BAD=∠CBD，
又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，
∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE．
由（1）知：BD=CD
∴DB=DE=DC．
∴B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上
【解析】(1)根據(jù)垂徑定理可得弧BD=弧CD，再由同圓或等圓中，等弧所對的弦相等可得BD=CD。
（2）由（1）知弧BD=弧CD，由同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等可得∠BAD=∠CBD，再由角平分線的定義可得∠CBE=∠ABE，根據(jù)三角形的外角定理可證∠DBE=∠DEB，根據(jù)等邊對等角可得DB=DE，結(jié)合（1）的結(jié)論可得DB=DE=DC．于是可知B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上．