如圖,ABCD是一張矩形紙片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的邊AB上取一點M,在CD上取一點N,將紙片沿MN折疊,使MB與DN交于點K,得到△MNK.
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(1)若∠1=70°,求∠MKN的度數(shù);
(2)△MNK的面積能否小于
12
?若能,求出此時∠1的度數(shù);若不能,試說明理由;
(3)如何折疊能夠使△MNK的面積最大?請你用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況,求最大值.
分析:(1)根據矩形的性質和折疊的性質求出∠KNM,∠KMN的度數(shù),根據三角形內角和即可求解;
(2)過M點作ME⊥DN,垂足為E,通過證明NK>1,由三角形面積公式可得△MNK的面積不可能小于
1
2
;
(3)分情況一:將矩形紙片對折,使點B與D重合,此時點K也與D重合;情況二:將矩形紙片沿對角線AC對折,此時折痕即為AC兩種情況討論求解.
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AM∥DN.
∴∠KNM=∠1.
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°,
∴∠MKN=40°.

精英家教網(2)不能.
過M點作ME⊥DN,垂足為E,則ME=AD=1.
∵∠KNM=∠KMN,
∴MK=NK,
又∵MK≥ME,
∴NK≥1.
∴△MNK的面積=
1
2
NK•ME≥
1
2

∴△MNK的面積不可能小于
1
2

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(3)分兩種情況:
情況一:將矩形紙片對折,使點B與D重合,此時點K也與D重合.
MK=MB=x,則AM=5-x.
由勾股定理得12+(5-x)2=x2,
解得x=2.6.
∴MD=ND=2.6.
S△MNK=S△MND=
1×2.6
2
=1.3.
情況二:將矩形紙片沿對角線AC對折,此時折痕即為AC.精英家教網
MK=AK=CK=x,則DK=5-x.
同理可得MK=NK=2.6.
∵MD=1,
∴S△MNK=
1×2.6
2
=1.3.
△MNK的面積最大值為1.3.
點評:本題考查了翻折變換(折疊問題),矩形的性質,勾股定理,三角形的面積計算,注意分類思想的運用,綜合性較強,有一點的難度.
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22、如圖,ABCD是一張矩形紙片,點O為矩形對角線的交點.直線MN經過點O交AD于M,交BC于N.
操作:先沿直線MN剪開,并將直角梯形MNCD繞點O旋轉
(1)
度后(填入一個你認為正確的序號:(1)90°;(2)180°;(3)270°;(4)360°),恰與直角梯形NMAB完全重合;再將重合后的直角梯形MNCD以直線MN為軸翻轉180°后所得到的圖形是下列中的
D
.(填寫正確圖形的代號)

A、B、C、D、

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cm.

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30°

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