Question

【題目】綜合與探究

如圖1，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸上，反比例函數（）的圖象經過點，并與線段交于點，反比例函數（）的圖象經過點，交軸于點．已知．

（1）求點的坐標及反比例函數（）的表達式；

（2）直接寫出點的坐標 ；

（3）如圖2，點是軸正半軸上的一個動點，過點作軸的垂線，分別交反比例函數（）與反比例函數（）的圖象于點，設點的坐標為

①當時，求的值；

②在點運動過程中，是否存在某一時刻，使？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（4，4）；（x>0）；（2）E（-3，）；（3）①m=5；②存在，P點坐標為（0，4+）或（0，4-）.

【解析】

（1）把A（-1，a）代入，可求出a的值，即可得A點坐標，根據B點坐標，利用勾股定理可求出AB的長，根據菱形的性質可知AB=AD，即可得D點坐標，把D點坐標代入（x>0），即可求出k值，即可得答案；（2）根據A、B坐標可得直線AB的解析式，聯立即可求出E點坐標；（3）①由MN//x軸，P（0，m），可得M、N的坐標為M（，m），N（，m），根據MN=OB列方程即可求出m的值；②根據坐標可求出AE的長，即可得AP的長，由AG=1，利用勾股定理即可求出PG的長，即可得答案.

(1)過A作AQ⊥x軸于Q，

∵A在反比例函數上，

∴a==4，

∴A點坐標為（-1，4），

又∵B（-4，0），

∴BQ=3，

∴AB==5，

又∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=AD=5，

∴D（4，4），

又∵D在反比例函數（x>0）上，

∴k=4×4=16，

∴反比例函數的表達式為

(2)設直線AB的解析式為y=kx+b,代入A、B坐標得：，

解得，

∴直線AB的解析式為y=x+，

聯立反比例函數y=得，

解得：，（舍去）

∴E點坐標為（-3，），

（3）①∵B（-4，0）

∴OB=4，

∵MN//x軸，P（0，m），

∴M（，m），N（，m）

∴

∵MN=OB

∴MN==4

∴m=5

②∵A（-1，4），E（-3，），

∴AE==，

∴AP=AE=，

∵G（0，4），

∴AG=1，

∴PG====，

∴m=4+或m=4-，

∴存在某一時刻，使，P點坐標為（0，4+）或（0，4-）.