Question

已知函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過A（3，4）和B（2，0）兩點(diǎn)．
（1）求函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)N為線段BM上一點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為Q，當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC（C為拋物線與y軸的交點(diǎn)）的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并求自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出待定系數(shù)的值．根據(jù)得出的拋物線的解析式可得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）由于四邊形NQAC不是規(guī)則的四邊形，因此可將其分割成三角形AOC和圖象NQOC兩部分進(jìn)行計(jì)算．可先根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式，然后設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)（可根據(jù)直線BC的解析式，用橫坐標(biāo)表示出縱坐標(biāo)），進(jìn)而表示出OQ、NQ的長，然后按上面分析的四邊形NQAC的面積計(jì)算方法得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由題意，可得：

9+3b+c=4 4+2b+c=0

解得：

b=-1 c=-2

因此拋物線的解析式為y=x²-x-2；
頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M（

1

2

，-

9

4

）．

（2）由B（2，0），M（

1

2

，-

9

4

）得線段BM所在的直線的解析式為y=

3

2

x-3，
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（h，-t），點(diǎn)N在線段BM上，將點(diǎn)N代入y=

3

2

x-3中，
得h=2-

2

3

t，其中0＜t＜

9

4

，
由拋物線解析式得C（0，-2），
∴S=

1

2

×1×2+

1

2

（t+2）（2-

2

3

t）=-

1

3

t²+

1

3

t+3
∴S與t間的函數(shù)關(guān)系式為S=-

1

3

t²+

1

3

t+3
自變量的取值范圍是0＜t＜

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法、圖形的面積的求法等知識(shí)點(diǎn)．