Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，等邊△ABC的頂點A，B的坐標分別為（5，0），（9，0），點D是x軸正半軸上一個動點，連接CD，將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE．

（Ⅰ）直接寫出點C的坐標，并判斷△CDE的形狀，說明理由；

（Ⅱ）如圖②，當點D在線段AB上運動時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周長及此時點D的坐標；若不存在，說明理由；

（Ⅲ）當△BDE是直角三角形時，求點D的坐標．（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）C，△CDE是等邊三角形；（Ⅱ）存在；；D（7，0）；（Ⅲ）D（1，0）或（13，0）．

【解析】分析：

（1）如圖1，過點C作CH⊥x軸于點H，由△ABC是等邊三角形易得AH=AB=2，結(jié)合AC=AB=4、OA=5，可得CH=，OH=7，由此即可得到點C的坐標；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CE=CD，結(jié)合旋轉(zhuǎn)角∠DCE=60°可知△CDE是等邊三角形；

（2）如圖2，由（1）可知△CDE是等邊三角形，由此可得DE=CD，由△CDE是由△CAD繞點C旋轉(zhuǎn)得到的，由此可得BE=AD，從而可得△BDE的周長=BD+BE+DE=BD+AD+CD=AB+CD=4+CD，由此可知，當CD⊥AB時，CD最小，此時△BDE的周長最小，由（1）可知，此時CD=，OD=7，即當點D的坐標為（7，0）時，△BDE的周長最小，最小值為；

（3）如圖3，由∠CBE=∠CAD=120°可得∠ABC=60°，由此可得∠DBE=60°≠90°，結(jié)合△BDE是直角三角形，可知：存在①∠BED=90°；②∠BDE=90°（如圖3，∠BD'E'=90°）兩種情況，分兩種情況畫出符合要求的圖形，并結(jié)合已知條件進行分析計算即可.

詳解：

（Ⅰ）如圖1，過點C作CH⊥AB于H，

∵△ABC是等邊三角形，CH⊥AB于點H，

∴∠AHC=90°，AH=AB=（9﹣5）=2，

∴OH=OA+AH=7，

∵AC=AB=4，

∴在Rt△ACH中，CH=，

∴ C；

∵△CBE是由△CAD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等邊三角形；

（Ⅱ）存在，理由如下：如圖2，由（Ⅰ）知，△CDE是等邊三角形，

∴DE=CD，

由旋轉(zhuǎn)知，BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE=4+CD，

由垂線段最短可知，CD⊥AB于D時，△BDE的周長最小，此時，由（1）可知CD=2，OD=7，

∴△BDE的周長最小值為4+2，點D（7，0）；

（Ⅲ）如圖3，

∵由旋轉(zhuǎn)知，∠CBE=∠CAD=120°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DBE=60°≠90°，

∵△BDE是直角三角形，

∴存在∠BED=90°或∠BDE=90°（如圖3，∠BD'E'=90°）兩種情況，

①當∠BED=90°時，

∵△CDE是等邊三角形，

∴∠CED=60°，

∴∠BEC=30°，

∵∠CBE=∠CAD=120°，

∴∠BCE=30°，

∴BE=BC=AB=4，

在Rt△BDE中，∠DBE=∠CBE﹣∠ABC=60°，

∴BD=2BE=8，

∵OB=9，

∴OD=OB﹣BD=1，

∴D（1，0），

②當∠BD'E'=90°時，

∵△CD'E'是等邊三角形，

∴∠CD'E'=60°，

∴∠BD'C=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BCD'=30°=∠BD'E，

∴BD'=BC=6，

∵OB=9，

∴OD'=OB+BD'=13，

∴D'（13，0），

即：存在點D使△BDE是直角三角形，此時點D的坐標分別為：（1，0）或（13，0）．