Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于、B兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為，為拋物線頂點(diǎn)，連結(jié)AD，點(diǎn)M為線段AD上動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），BM與y軸交于點(diǎn)N．

（1）求拋物線解析式；

（2）是否存在點(diǎn)M使得與相似，若存在請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）求當(dāng)BM將四邊形ABCM分為面積相等的兩部分時ON的長度．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，M坐標(biāo)為，，；（3）

【解析】

（1）將代入解析式解方程即可；

（2）兩三角形相似有兩種對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)時滿足題意，設(shè)M坐標(biāo)代入AC解析式即可，當(dāng)時也滿足題意，根據(jù)相似三角形列比例式求解即可；

（3）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)，利用鉛垂線法求兩個三角形面積，利用相等條件列方程求解即可.

解：（1）將代入解析式得：

，

解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）存在

理由：，

，

設(shè)直線解析式為，

將代入得，

，

解得：，

∴直線解析式為，

當(dāng)時，

，，

設(shè)，代入得，

，

解得：，

；

當(dāng)時，，

作直線軸交x軸與點(diǎn)E，作直線交ME軸與點(diǎn)F，

，

，

又，

，

，

，

設(shè)，又，

∴可得，

，

，

即，

解得：，

或，

綜上當(dāng)M坐標(biāo)為，，時，滿足題意；

（3）作軸交于點(diǎn)G，

設(shè)直線BC解析式為，

將代入解析式得，

，

解得，

∴直線BC解析式為，

設(shè)，

則，

將代入直線BC解析式得，

，

，

，

，

，

由題意得，

解得，

，

設(shè)直線BM的解析式為，

將代入BM解析式得，

，

解得，

，