Question

6．如圖1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC交OA于D．
（1）求證：AB=AD；
（2）如圖2，當(dāng)∠BAC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，角的兩邊分別與直線OB、OC交與點(diǎn)B₁和點(diǎn)C₁，連接B₁C₁交OA于點(diǎn)P，B₁D平分∠OB₁C₁交OA于D，過(guò)D作DE⊥B₁C₁，垂足為E
求證：①△B₁BA≌△C₁CA；②OB=$\frac{1}{2}$B₁C₁+DE；
（3）在（2）的條件下，若B₁E=6，C₁E=4，求正方形ABOC的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出∠ABD=∠ADB即可；
（2）①有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠B₁AB=∠C₁AC，即可；
②利用相似三角形即可證明；
（3）根據(jù)（2）②中條件求出點(diǎn)D和點(diǎn)的B₁坐標(biāo)，代入即可求出直線B₁D的解析式

解答 解：（1）∵OA，BC是四邊形ABCD是正方形對(duì)角線，
∴∠OAB=∠OBC=∠OAB=45°，
∵BD平分∠OBC，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠OBC=22.5°，
∴∠ABD=67.5°，
∴∠ADB=67.5°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
（2）①由旋轉(zhuǎn)得，∠B₁AB=∠C₁AC，
∵AB=AC，∠ABB₁=∠QCC₁=90°，
∴△B₁BA≌△C₁CA；
②如圖2，

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于F．
∵∠BAC=∠B₁AC₁=90°，
∴∠B₁AB=∠C₁AC．
又∵AB=AC，∠B₁BA=∠C₁CA=90°，
∴△B₁BA≌△C₁CA（ASA），
∴B₁A=C₁A，
∴AB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₁C₁．
∵∠B₁DA=∠AOB+∠OB₁D=45°+∠OB₁D，
∠DB₁A=∠DB₁C₁+∠AB₁C₁=45°+∠DB₁C₁，
∵∠OB₁D=∠DB₁C₁，
∴∠B₁DA=∠DB₁A，
∴AD=AB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₁C₁，
∴OD=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$DE且AO=$\sqrt{2}$OB，
∴AD+OD=$\sqrt{2}$OB，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$B₁C₁+$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$OB，
∴OB=$\frac{1}{2}$B₁C₁+DE．
（3）∵B₁E=6，C₁E=4，
∴B₁C₁=B₁E+C₁E=10，
由（2）②得OB=5+DE=5+DF，
∴BF=5．
∵B₁F=B₁E=6，
∴B₁B=1，AB₁=5$\sqrt{2}$，
∴AB=OB=7，
∴正方形ABOC的邊長(zhǎng)為7．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出OB=$\frac{1}{2}$B₁C₁+DE．