如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問(wèn)題:
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(1)如果AB=AC,∠BAC=90度.
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖甲,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
 
,數(shù)量關(guān)系為
 

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖乙,①中的結(jié)論是否仍然成立為什么(要求寫(xiě)出證明過(guò)程)
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).且∠BCA=45°時(shí),
①請(qǐng)你判斷線段CF、BD之間的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由(要求寫(xiě)出證明過(guò)程).
②若AC=4
2
,CF=3.求正方形ADEF的邊長(zhǎng)(要求寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程).
分析:(1)①根據(jù)正方形的邊相等,得AD=AF,根據(jù)正方形的角是直角,得∠BAD=∠CAF,再根據(jù)SAS證明△DAB≌△FAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析;
②和①中的證明思路類(lèi)似,只是證明夾角的時(shí)候,是直角加上公共的一部分;
(2)作輔助線,構(gòu)造和(1)中類(lèi)似的圖形進(jìn)行證明;作構(gòu)造的等腰直角三角形底邊上的高,結(jié)合全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一求得AD所在的直角三角形的兩條直角邊,然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算.
解答:解:(1)①垂直,相等.
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立.
證明:∵正方形ADEF,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠DAF=∠BAC,
∴∠DAF+∠CAD=∠BAC+∠CAD,
即:∠DAB=∠FAC,
∵AB=AC,AD=AF,
∴△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°,
即CF⊥BD.

(2)①當(dāng)∠BCA=45°,CF⊥BD,如圖丙精英家教網(wǎng)
證明:過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC于A交BC于點(diǎn)G,
∴∠AGC+∠ACG=90°,
∵∠ACG=45°,
∴∠AGC=∠ACG=45°,
∴AC=AG,
與(1)②同理,CF⊥GD,即CF⊥BD.
②解:過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,
與(1)②同理,CF⊥GD,
∵AC=AG,AC=4
2
,CF=3,
∴GD=3,AG=4
2
,
∴在Rt△ACG中,GC=
AG2+AC2
=8,
∴CD=GC-GD=5,
∵AC=AG,AH⊥GC,
∴GH=CH=
1
2
GC=4,
∴DH=CD-CH=1,
∵在Rt△ACG中,GH=CH,
∴AH=
1
2
GC=4,
∴在Rt△ADH中,
AD=
AH2+DH2
=
17
點(diǎn)評(píng):在做一題多變的時(shí)候,思路是相通的,能夠把較為復(fù)雜的情況和簡(jiǎn)單情況建立聯(lián)系進(jìn)行解決.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
解答下列問(wèn)題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖乙,線段CF,BD之間的位置關(guān)系為
 
,數(shù)量關(guān)系為
 

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí),如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).
試探究:當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí),CF⊥BC(點(diǎn)C,F(xiàn)重合除外)畫(huà)出相應(yīng)圖形,并說(shuō)明理由.(畫(huà)圖不寫(xiě)作法)
(3)若AC=4
2
,BC=3,在(2)的條件下,設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P,求線段CP長(zhǎng)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

27、如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問(wèn)題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖乙,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).試探究:當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí),CF⊥BC(點(diǎn)C、F重合除外)?并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

24、(1)如圖甲,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,則BD與CD相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若將圖甲變?yōu)閳D乙,其他條件不變,則BD與CD仍相等嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖甲,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交BC的延長(zhǎng)線于M,∠A=40°.
(1)求∠NMB的大小.
(2)如圖乙,如果將(1)中∠A的度數(shù)改為70°,其余條件不變,再求∠NMB的大小.
(3)根據(jù)(1)(2)的計(jì)算,你能發(fā)現(xiàn)其中的蘊(yùn)涵的規(guī)律嗎?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明.
(4)如圖丙,將(1)中的∠A改為鈍角,其余條件不變,對(duì)這個(gè)問(wèn)題規(guī)律的認(rèn)識(shí)是否需要加以修改?請(qǐng)你把∠A代入一個(gè)鈍角度數(shù)驗(yàn)證你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.如果AB=AC,∠BAC=90°.
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(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖甲,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為
垂直
垂直
,數(shù)量關(guān)系為
相等
相等

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖乙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?(要求寫(xiě)出證明過(guò)程)

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