Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．點(diǎn)P從點(diǎn)C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/s向C點(diǎn)勻速移動(dòng)，若一個(gè)點(diǎn)到達(dá)目的停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；
（1）用含有t的代數(shù)式表示BQ、CP的長(zhǎng)；
（2）寫出t的取值范圍；
（3）用含有t的代數(shù)式表示Rt△PCQ和四邊形APQB的面積；
（4）當(dāng)P、Q處在什么位置時(shí)，四邊形PQBA的面積最小，并求這個(gè)最小值．

Answer 1

（1）t時(shí)刻時(shí)，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/s向C點(diǎn)勻速移動(dòng)，
∴CP=t，BQ=2t，
即用含有t的代數(shù)式表示BQ、CP的長(zhǎng)為：BQ=2t，CP=t．

（2）∵點(diǎn)P從點(diǎn)C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/s向C點(diǎn)勻速移動(dòng)，
∴Q的速度是P的兩倍，
∵2AC＜BC，
∴可知P先到達(dá)A點(diǎn)，
且t=

AC

1

=4．
∵若一個(gè)點(diǎn)到達(dá)目的停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，
∴t的取值范圍是：0≤t≤4．

（3）由（1）得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm，
∴CQ=12-2t，
∴Rt△PCQ的面積為

1

2

×CQ×CP=

1

2

×(12-2t)×t=t（6-t），
∵Rt△ABC的面積為

1

2

×AC×BC=

1

2

×4×12=24，
∴四邊形APQB的面積=Rt△ABC的面積-Rt△PCQ的面積=24-t（6-t）．

（4）由（3）得四邊形APQB的面積為24-t（6-t），
變形為t²-6t+24=（t-3）²+15，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=-

-6

2×1

=3時(shí)，取得最小值，解為15．
即CP=3cm，BQ=6cm時(shí)面積最小，最小為15cm²．