Question

【題目】如圖，在ABCD中，點P是AB邊上一點（不與A，B重合），過點P作PQ⊥CP，交AD邊于點Q，且，連結．

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）若CP=CD，AP=2，AD=6時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）證出∠A=90°即可；
（2）由HL證明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，設AQ=x，則DQ=PQ=6-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）證明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，

又∠BPC=∠AQP，

∴∠CPQ=∠A，

∵PQ⊥CP，

∴∠A=∠CPQ=90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形
∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中， ，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ=PQ，
設AQ=x，則DQ=PQ=6-x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2
∴x2+22=（6-x）2，
解得：x=
∴AQ的長是．