Question

【題目】乘法公式的探究及應用．

數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片長為a、寬為b的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．

（1）請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積．

方法1：______；方法2：______．

（2）觀察圖2，請你寫出下列三個代數式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系．______；

（3）類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個圖形驗證：

（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2

（4）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：

①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；

②已知（x-2016）2+（x-2018）2=34，求（x-2017）2的值．

Answer 1

【答案】(1) （a+b）2；a2+b2+2ab；(2)（a+b）2=a2+2ab+b2；(3)見解析;(4)①7；②16.

【解析】

（1）第一種方法：直接用正方形的面積公式求解；第二種方法將其看做是一個兩個正方形和兩個長方形，分別求出面積再求和即可.

（2）依據（1）中的代數式，即可得到所求的關系；

（3）畫出長為a+2b，寬為a+b的長方形，即可完成驗證；

（4）①依據a+b=5，可得（a+b）2=25，進而得出a2+b2+2ab=25，再將a2+b2=11，即可得到ab=7；②設x-2017=a，則x-2016=a+1，x-2018=a-1，依據（x-2016）2+（x-2018）2=34，即可得到∴（a+1）2+（a-1）2=34，然后化簡得a2=16，即可完成解答.

解：（1）圖2大正方形的面積=（a+b）2；圖2大正方形的面積=a2+b2+2ab；

故答案為：（a+b）2；a2+b2+2ab；

（2）由題可得（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系為：（a+b）2=a2+2ab+b2；

故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2；

（3）如圖所示，

（4）①∵a+b=5，

∴（a+b）2=25，即a2+b2+2ab=25，

又∵a2+b2=11，

∴ab=7；

②設x-2017=a，則x-2016=a+1，x-2018=a-1，

∵（x-2016）2+（x-2018）2=34，

∴（a+1）2+（a-1）2=34，

∴a2+2a+1+a2-2a+1=34，

∴2a2+2=34，

∴2a2=32，

∴a2=16，

即（x-2017）2=16．