Question

2．邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接線段CE交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線段CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠MAF為直角，則DM的長(zhǎng)為$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

Answer 1

分析 作MN⊥AD，先證明MA=ME，進(jìn)而求出AN=NE=$\frac{1}{4}$，利用MN∥CD得$\frac{MN}{CD}$=$\frac{NE}{ED}$，求出MN，在RT△MND中利用勾股定理即可求出DM．

解答 解：作MN⊥AD垂足為N．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠CBF，BC∥AD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵BF=BF，
在△BFA與△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BFA≌△BFC，
∴∠BAF=∠BCF=∠CED=∠AEM，
∵∠MAF=∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠MAE，
∴∠MAE=∠AEM，
∴MA=ME，
∵AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，
∴AN=NE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{4}$，
∵∠MNE=∠CDE=90°，
∴MN∥CD，
∴$\frac{MN}{CD}$=$\frac{NE}{ED}$=$\frac{1}{2}$，
∵CD=1，
∴MN=$\frac{1}{2}$，
在RT△MND中，∵M(jìn)N=$\frac{1}{2}$，DN=$\frac{3}{4}$，
∴DM=$\sqrt{D{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
故答案為$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行成比例的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．