Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分ÐABC，P是BD上一點，過點P作PM^AD，PN^CD，垂足分別為M、N。

（1）求證：ÐADB=ÐCDB；

（2）若ÐADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形。

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】證明：（1）∵BD平分ÐABC，∴ÐABD=ÐCBD。

又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD ≌△CBD（SAS）。

∴ÐADB=ÐCDB。

（2）∵PM^AD，PN^CD，∴ÐPMD=ÐPND=90°。

又∵ÐADC=90°，∴四邊形MPND是矩形。

∵ÐADB=ÐCDB，PM^AD，PN^CD，∴PM=PN。∴四邊形MPND是正方形。

（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB=∠CDB。

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形。