Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，且AD=AB，連接BE交AD于點(diǎn)F，下列結(jié)論：（　�。�

①∠EBC=∠C；②△EAF∽△EBA；③BF=3EF；④∠DEF=∠DAE，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】分析: 要解答本題，首先由中垂線的性質(zhì)可以求得BE＝CE，利用外角與內(nèi)角的關(guān)系可以得出∠CAD＝∠ABE，通過(guò)作輔助線利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等可以得出EF＝FH＝HB，根據(jù)等高的兩三角形的面積關(guān)系求出AF＝DF，利用角的關(guān)系代替證明∠5≠∠4，從而得出△DEF與△DAE不相似．根據(jù)以上的分析可以得出正確的選項(xiàng)答案．

詳解: ∵BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，

∴CE＝BE，

∴∠EBC＝∠C，故①正確；

∵AD＝AB，

∴∠8＝∠ABC＝∠6＋∠7，

∵∠8＝∠C＋∠4，

∴∠C＋∠4＝∠6＋∠7，

∴∠4＝∠6，

∵∠AEF＝∠AEB，

∴△EAF∽△EBA，故②正確；

作AG⊥BD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，

∵AD＝AB，DE⊥BC，

∴∠2＝∠3，DG＝BG＝BD，DE∥AG，

∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，DE＝AH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，

∴在△DEF與△AHF中，

∠EDA＝∠3

∠5＝∠1

DE＝AH，

∴△DEF≌△AHF（AAS），

∴AF＝DF，EF＝HF＝EH，且EH＝BH，

∴EF：BF＝1：3，故③正確；

∵∠1＝∠2＋∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，

∴∠5＝∠3＋∠4，

∴∠5≠∠4，故④錯(cuò)誤，

綜上所述：正確的答案有3個(gè)，

故選：C．

點(diǎn)睛: 本題考查了中垂線的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形的中位線及相似三角形的判定及性質(zhì)和等積變換等知識(shí)．