Question

【題目】如圖1，已知矩形ABED，點(diǎn)C是邊DE的中點(diǎn)，且AB=2AD.

(1)由圖1通過(guò)觀察、猜想可以得到線段AC與線段BC的數(shù)量關(guān)系為___，位置關(guān)系為__；

(2)保持圖1中的△ABC固定不變,繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中的位置(當(dāng)垂線AD、BE在直線MN的同側(cè)).試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系?并給予證明(第一問(wèn)中得到的猜想結(jié)論可以直接在證明中使用)；

(3)保持圖2中的△ABC固定不變,繼續(xù)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置(當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)).試探究線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間有___關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）AC=BC，AC⊥BC，；（2）DE=AD+BE，理由見解析；（3）DE=BEAD.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及勾股定理，即可證得△ADC≌△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）通過(guò)證明△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可得線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間的關(guān)系；

（3）通過(guò)證明△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可得線段AD、BE、DE長(zhǎng)度之間的關(guān)系．

(1)AC=BC，AC⊥BC，

在△ADC與△BEC中, ，

∴△ADC≌△BEC(SAS)，

∴AC=BC，∠DCA=∠ECB.

∵AB=2AD=DE，DC=CE，

∴AD=DC，

∴∠DCA=45°，

∴∠ECB=45°，

∴∠ACB=180°∠DCA∠ECB=90°.

∴AC⊥BC，

故答案為：AC=BC，AC⊥BC；

(2)DE=AD+BE.理由如下：

∵∠ACD=∠CBE=90°∠BCE，

在△ACD與△CBE中, ，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，DC=EB.

∴DC+CE=BE+AD，

即DE=AD+BE.

(3)DE=BEAD.理由如下：

∵∠ACD=∠CBE=90°∠BCE，

在△ACD與△CBE中,

，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，

∴AD=CE，DC=EB.

∴DCCE=BEAD，

即DE=BEAD，

故答案為：DE=BEAD.