Question

如圖，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作，，連接．已知，，，設(shè)．

（1）用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；
（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)滿足什么條件時(shí)，的值最小？
（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．

Answer 1

（1）；（2）三點(diǎn)共線時(shí)；（3）13

試題分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；
（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最��；
（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=12，過(guò)點(diǎn)B作AB⊥BD，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．
（1）；
（2）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最�。�
（3）如下圖所示，作，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，使，．連結(jié)交于點(diǎn)，的長(zhǎng)即為代數(shù)式的最小值．

過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，得矩形，
則，12．
所以，即的最小值為13．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了數(shù)形結(jié)合的思想，求形如的式子的最小值，可通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．