Question

【題目】已知等腰△ABC中，AB=AC,∠ABC的平分線交AC于D，過(guò)點(diǎn)A作AE // BC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠CAE的平分線交BE于點(diǎn)F.

(1)①如圖，若∠BAC=36o，求證：BD=EF；

②如圖，若∠BAC=60o，求的值；

(2)如圖，若∠BAC=60o，過(guò)點(diǎn)D作DG// BC，交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，點(diǎn)P, M分別是GD, BG上的動(dòng)點(diǎn)，且∠PNM=60°. 求證：AP=PN=MN.

Answer 1

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①如圖1，根據(jù)題意可依次求得∠1=∠E=∠3=36°，∠2=∠4=72°，再根據(jù)等腰三角形的判定和等量代換即得結(jié)論；

②如圖2，根據(jù)AB=AC，∠BAC=60°可得△ABC是等邊三角形，根據(jù)AE // BC和BD是∠ABC的平分線，可得AB=AE，進(jìn)一步即可求得∠1=∠3=∠E=30°，然后利用30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BD與AB、EF與AE的關(guān)系，問(wèn)題即得解決.

（2）如圖3，連接DN、GN，根據(jù)題意易得△ADG、△BNG、△GDN為全等的等邊三角形，然后利用SAS可證△AGP≌△NGP，從而可得AP=NP，再根據(jù)ASA可證△GMN≌△DPN，從而可得MN=PN，問(wèn)題即得解決.

解：（1）①證明：如圖1，∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°，

∵BD是∠ABC的平分線，∴，

∴，∴BD=AD，，

∵AE // BC，∴，

∴，

∵AF平分∠DAE，∴，

∴∠3=∠E，

∴AF=EF，，

∴，∴AD=AF，

∴BD=EF；

②如圖2，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵BD是∠ABC的平分線，∴，BD⊥AC，

∴，∴，

∵AE // BC，∴，，

∴，∴AB=AE，

∵AF平分∠CAE，∴，

∴，∴FA=FE，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，則，

在直角△EFG中，∵，∴，，

∴，∴

∴；

（2）連接DN、GN，如圖3，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，

由上一小題知：D為AC中點(diǎn)，∵DG// BC，∴G為AB中點(diǎn)，

又因?yàn)辄c(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則△ADG、△BNG、△GDN為全等的等邊三角形，

∴AG=GN，∠AGP=∠NGP=60°，

又∵GP=GP，

∴△AGP≌△NGP（SAS），

∴AP=NP，

∵∠MNP=∠GND=60°，∴∠MNG=∠PND，

又∵GN=DN，∠MGN=∠PDN=60°，

∴△GMN≌△DPN（ASA），

∴MN=PN，

∴AP=PN=MN.