Question

17、在1，2，3，…，2000這2000個自然數(shù)中，有

267

個自然數(shù)能同時被2和3整除，而且不能被5整除．

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件，現(xiàn)列舉出能同時被2和3整除即能被6整除的數(shù)6，12，18，24…，再在列舉的數(shù)中列舉出能被5整除的數(shù)30，60，90，120，…，然后觀察這些數(shù)得到兩個等差數(shù)列．

解答：解：能同時被2和3整除即能被6整除的數(shù)在1，2，3，…，2000這2000個自然數(shù)中有6，12，18，24，…，1998，得到一個公差是4的等差數(shù)列．設這樣的數(shù)有n個，則：1998=6+（n-1）×6，得n=333．所以同時被2和3整除的數(shù)有333個．
在這333個數(shù)中能被5整除的數(shù)有30，60，90，120，…，1980，得到一個公差是30的等差數(shù)列．設這樣的數(shù)有m個，則
1980=30+（m-1）×30，得m=66，即能被5整除的數(shù)有66個．
所以：能同時被2和3整除，而且不能被5整除的數(shù)有333-66=267（個）
故：填267．

點評：此題考查學生分析、觀察問題的能力．關鍵是善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)問題．此題要運用等差數(shù)列解題．