Question

【題目】綜合與實踐：矩形的旋轉

問題情境：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的旋轉”為主題開展數(shù)學活動．具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩個矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時對角線AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，將矩形EFGH繞AC的中點O逆時針方向旋轉，直到點E與點B重合時停止，在此過程中開展探究活動．

操作發(fā)現(xiàn)：

（1）雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉過程中，當邊AB與EF交于點M，邊CD與GH交于點N，如圖2、圖3所示，則線段AM與CN始終存在的數(shù)量關系是　 　．

（2）雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉開始后，當兩個矩形紙片重疊部分為四邊形QMRN時，如圖3所示，四邊形QMRN為菱形，請你證明這個結論．

（3）雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題（2）中的四邊形QMRN中∠MQN與旋轉角∠AOE存在著特定的數(shù)量關系，請你寫出這一關系，并說明理由．

實踐探究：

（4）在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉，四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化．若矩形紙片的長為，寬為，請你幫助雄鷹小組探究當旋轉角∠AOE為多少度時，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）結論：AM＝CN，理由見解析；

（2）證明見解析；

（3）結論：∠MQN＝∠AOE，理由見解析；

（4）∠AOE＝45°或135°時，四邊形QMRN面積最大為．

【解析】

(1)先證明△AOK≌△AOJ(ASA)，推出OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，再證明△EKM≌△GJN(ASA)即可的解；(2)過點Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分別為點K，L、先證明四邊形QMRN是平行四邊形，再證明QM＝QN即可的解；(3)由三角形的外角的性質以及平行線的性質即可解決問題；(4)如圖3-2中，連接BD，在DC上取一點J，使得DJ＝AD＝，則AJ＝2，通過解直角三角形求出∠BOC的度數(shù)，再結合圖象即可得解.

（1）結論：AM＝CN．

理由：如圖2中，設AB交EG于K，CD交EG于J．

∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGH是矩形，

∴AB∥CD，EF∥EG，OA＝OC＝OE＝OG，

∴∠MEK＝∠JGN，∠OAK＝∠OAJ，

∵∠AOK＝∠AOJ，∴△AOK≌△AOJ（ASA），

∴OK＝OJ，AK＝CJ，∠AOK＝∠AJO，∴EK＝JG，

∵∠EKM＝∠AKO，∠GJN＝∠CJO，∴∠EKM＝∠GJN，

∴△EKM≌△GJN（ASA），∴KM＝JN，∴AM＝AN．

（2）證明：過點Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分別為點K，L．

由題可知：矩形ABCD≌矩形EFGH，

∴AD＝EH，AB∥CD，EF∥HG，

∴四邊形QMRN為平行四邊形，

∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK＝EH，QL＝AD，∠QKM＝∠QLN＝90°，∴QK＝QL，

又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ＝∠MQN，∠MQN＝∠LNQ，

∴∠KMQ＝∠LNQ，∴△QKM≌△QLN（AAS），

∴MQ＝NQ∴四邊形QMRN為菱形．

（3）結論：∠MQN＝∠AOE．理由：如圖3﹣1中，

∵∠QND＝∠1+∠2，∠AOE＝∠1+∠3，

又由題意可知旋轉前∠2與∠3重合，∴∠2＝∠3，∴∠QND═∠AOE，

∵AB∥CD，∴∠MQN＝∠QND，∴∠MQN＝∠AOE．

（4）如圖3﹣2中，連接BD，在DC上取一點J，使得DJ＝AD＝，則AJ＝2，

∵CD＝2+，∴CJ＝AJ＝2，∴∠JCA＝∠JAC，

∵∠AJD＝45°＝∠JCA+∠JAC，∴∠ACJ＝22.5°，

∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝22.5°，∴∠BOC＝45°，

觀察圖象可知，當點F與點C重合或點G與點D重合時，四邊形QMRN的面積最大，最大值＝，

∴∠AOE＝45°或135°時，四邊形QMRN面積最大為．