Question

【題目】在等邊△ABC中，

（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點(diǎn)，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數(shù)；

（2）點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，連接AM，PM.

①依題意將圖2補(bǔ)全；②小明通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜想：在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有PA=PM，小明把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1：要證PA=PM，只需證△APM是等邊三角形．

想法2：在BA上取一點(diǎn)N，使得BN=BP，要證PA=PM，只需證△ANP≌△PCM.……

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明證明PA=PM（一種方法即可）．

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）見解析

【解析】

對(duì)于（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠APB=∠AQC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

對(duì)于（2）①根據(jù)題意和軸對(duì)稱的性質(zhì)即可畫出圖形；

②如圖2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠APQ=∠AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠APB=∠AQC，由點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代換得到∠MAC=∠BAP，推出△APM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

（1）∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=20°，

∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°；

（2）①補(bǔ)全的圖如圖所示.

②∵AP=AQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴∠APB=∠AQC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠BAP=∠CAQ.

∵點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M，

∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，

∴∠MAC=∠BAP，

∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，

∴∠PAM=60°.

∵AP=AQ，

∴AP=AM，

∴△APM是等邊三角形，

∴PA=PM.