【題目】如圖,已知直線AB的函數(shù)解析式為y=2x+10,與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B.
(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P(a,b)為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作PE⊥y軸于點(diǎn)E,PF⊥x軸于點(diǎn)F,連接EF,問(wèn):
①若△PBO的面積為S,求S關(guān)于a的函數(shù)解析式;
②是否存在點(diǎn)P,使EF的值最小?若存在,求出EF的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)A(0,10),B(-5,0);(2)①S=5a+25(-5≤a≤0);②存在點(diǎn)P使得EF的值最小,最小值為2.
【解析】(1)由直線AB解析式,令x=0與y=0分別求出y與x的值,即可確定出A與B的坐標(biāo);
(2)①把P坐標(biāo)代入直線AB解析式,得到a與b的關(guān)系式,三角形POB面積等于OB為底邊,P的縱坐標(biāo)為高,表示出S與a的解析式即可;
②存在,理由為:利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形,得到四邊形PFOE為矩形,利用矩形的對(duì)角線相等得到EF=PO,由O為定點(diǎn),P為動(dòng)點(diǎn),得到OP垂直于AB時(shí),OP取得最小值,利用面積法求出OP的長(zhǎng),即為EF的最小值.
(1)對(duì)于直線AB的解析式y=2x+10,
令x=0,得到y=10,
令y=0,得到x=-5,
則A(0,10),B(-5,0);
(2)連接OP,如圖,
①∵P(a,b)在線段AB上,∴b=2a+10,
由0≤2a+10≤10,得到-5≤a≤0,
由(1)得OB=5,
∴=OB·(2a+10),
則S=(2a+10)=5a+25(-5≤a≤0);
②存在,理由:
∵∠PFO=∠FOE=∠OEP=90°,
∴四邊形PFOE為矩形,∴EF=PO,
∵O為定點(diǎn),P在線段AB上運(yùn)動(dòng),
∴當(dāng)OP⊥AB時(shí),OP取得最小值,
∵AB·OP=OB·OA,
即×5·OP=×5×10,解得OP=2,
∴EF=OP=2,
綜上,存在點(diǎn)P使得EF的值最小,最小值為2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】周末,小明,小紅等同學(xué)隨父母一同去某景點(diǎn)旅游,在購(gòu)買(mǎi)門(mén)票時(shí),小明和小紅有圖1所示的對(duì)話,根據(jù)圖2的門(mén)票票價(jià)和圖1所示的對(duì)話內(nèi)容完成下列問(wèn)題.
(1)他們一共去了幾個(gè)成人幾個(gè)學(xué)生?
(2)請(qǐng)你幫他們算一算,用哪種方式買(mǎi)票更省錢(qián),省多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感,他驚喜的發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí),都可以用“面積法”來(lái)證明,下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程:
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中∠DAB=90°,求證:a2+b2=c2.
證明:連結(jié)DB,過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF,則DF=EC=b﹣a,
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC= 12 b2+ 12 ab.
又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB= 12 c2+ 12 a(b﹣a)
∴ 12 b2+ 12 ab= 12 c2+ 12 a(b﹣a)
∴a2+b2=c2
請(qǐng)參照上述證法,利用圖2完成下面的證明.
將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中∠DAB=90°.求證:a2+b2=c2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為AD上一點(diǎn),FG⊥CE分別交AB、CD于F、G,垂足為O.
(1)求證:CE=FG;
(2)如圖2,連接OB,若AD=3DE,∠OBC=2∠DCE。
求的值;
若AD=3,則OE的長(zhǎng)為_________(直接寫(xiě)出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角梯形ABCO的兩邊OA,OC在坐標(biāo)軸的正半軸上,BC∥x軸,OA=OC=4,以直線x=1為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線過(guò)A,B,C三點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)已知直線l的解析式為y=x+m,它與x軸交于點(diǎn)G,在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P.
①當(dāng)m=0時(shí),如圖1,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與BC的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥直線l于點(diǎn)H,連結(jié)OP,試求△OPH的面積;
②當(dāng)m=﹣3時(shí),過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線,垂足為點(diǎn)E,F(xiàn).是否存在這樣的點(diǎn)P,使以P,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某文具店第一次用400元購(gòu)進(jìn)膠皮筆記本若干個(gè),第二次又用400元購(gòu)進(jìn)該種型號(hào)的筆記本,但這次每個(gè)的進(jìn)價(jià)是第一次進(jìn)價(jià)的1.25倍,購(gòu)進(jìn)數(shù)量比第一次少了20個(gè).
(1)求第一次每個(gè)筆記本的進(jìn)價(jià)是多少?
(2)若要求這兩次購(gòu)進(jìn)的筆記本按同一價(jià)格全部銷(xiāo)售完畢后后獲利不低于460元,問(wèn)每個(gè)筆記本至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,沿過(guò)B點(diǎn)的一條直線BE折疊這個(gè)三角形, 使C點(diǎn)與AB邊上的一點(diǎn)D重合.
(1)當(dāng)∠A滿足什么條件時(shí),點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)?寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件,并利用此條件證明D為AB的中點(diǎn);
(2)在(1)的條件下,若DE=1,求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀下面文字,然后按要求解題.
例:1+2+3+…+100=?如果一個(gè)一個(gè)順次相加顯然太繁,我們仔細(xì)分析這100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的規(guī)律和特點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用加法的運(yùn)算律,是可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算,提高計(jì)算速度的.
因?yàn)?/span>1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,所以將所給算式中各加數(shù)經(jīng)過(guò)交換、結(jié)合以后,可以很快求出結(jié)果.
解:1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)==5050.
(1)補(bǔ)全例題解題過(guò)程;
(2)計(jì)算a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…+(a+99b).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BC為⊙O的直徑,A為圓上一點(diǎn),點(diǎn)F為 的中點(diǎn),延長(zhǎng)AB、AC,與過(guò)F點(diǎn)的切線交于D、E兩點(diǎn).
(1)求證:BC∥DE;
(2)若BC:DF=4:3,求tan∠ABC的值.
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