Question

【題目】小華思考解決如下問題：

原題：如圖1，點(diǎn)P，Q分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求證：AP＝AQ．

（1）小華進(jìn)行探索，若將點(diǎn)P，Q的位置特殊化：把∠PAQ繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到∠EAF，使AE⊥BC，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，如圖2．此時(shí)她證明了AE＝AF，請(qǐng)你證明；

（2）由以上（1）的啟發(fā)，在原題中，添加輔助線：如圖3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F．請(qǐng)你繼續(xù)完成原題的證明；

（3）如果在原題中添加條件：AB＝4，∠B＝60°，如圖1，求四邊形APCQ的周長(zhǎng)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，首先證明∠B＝∠D，AB＝AD，再結(jié)合題意證明，進(jìn)而證明△AEB≌△AFD，即可證明AE＝AF.

（2）根據(jù)（1）的證明，再證明△AEP≌△AFQ（ASA），進(jìn)而證明AP＝AQ.

（3）根據(jù)題意連接AC，則可證明△ABC為等邊三角形，再計(jì)算AE的長(zhǎng)度，則可計(jì)算長(zhǎng)APCQ的周長(zhǎng)的最小值.

（1）證明：如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B+∠C＝180°，∠B＝∠D，AB＝AD，

∵∠EAF＝∠B，

∴∠EAF+∠C＝180°，

∴∠AEC+∠AFC＝180°，

∵AE⊥BC，

∴AF⊥CD，

在△AEB和△AFD中，

，

∴△AEB≌△AFD（AAS），

∴AE＝AF；

（2）證明：如圖3，由（1）得，∠PAQ＝∠EAF＝∠B，AE＝AF，

∴∠EAP＝∠FAQ，

在△AEP和△AFQ中，

，

∴△AEP≌△AFQ（ASA），

∴AP＝AQ；

（3）解：如圖4，連接AC，

∵∠ABC＝60°，BA＝BC＝4，

∴△ABC為等邊三角形，

∵AE⊥BC，

∴BE＝EC＝2，

同理，CF＝FD＝2，

∴AE＝ ＝2 ，

∴四邊形APCQ的周長(zhǎng)＝AP+PC+CQ+AQ＝2AP+CP+CF+FQ＝2AP+2CF，

∵CF是定值，當(dāng)AP最小時(shí)，四邊形APCQ的周長(zhǎng)最小，

∴當(dāng)AP＝AE時(shí)，四邊形APCQ的周長(zhǎng)最小，此時(shí)四邊形APCQ的周長(zhǎng)的最小值＝2×2+4＝4+4．