Question

【題目】在數(shù)軸上,把表示數(shù)1的點(diǎn)稱為基準(zhǔn)點(diǎn),記作點(diǎn)．對于兩個(gè)不同的點(diǎn)M和N,若點(diǎn)M、點(diǎn)N到點(diǎn)的距離相等,則稱點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．例如：圖1中,點(diǎn)M表示數(shù)-1,點(diǎn)N表示數(shù)3,它們與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離都是2個(gè)單位長度，點(diǎn)M與點(diǎn)N互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．

（1）已知點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)．

①若a=0，則b=_________；若a=4，則b=_________；

②用含a的式子表示b，則b=____________；

（2）對點(diǎn)A進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)A表示的數(shù)乘以2.5，再把所得數(shù)表示的點(diǎn)沿著數(shù)軸向左移動3個(gè)單位長度得到點(diǎn)B． 若點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是___________；

（3）點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左邊,點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為8個(gè)單位長度．對P、Q兩點(diǎn)做如下操作：點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸向右移動k(k>0)個(gè)單位長度得到，為的基準(zhǔn)變換點(diǎn),點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右移動k個(gè)單位長度得到,為的基準(zhǔn)變換點(diǎn),…,依此順序不斷地重復(fù),得到,,…,．為Q的基準(zhǔn)變換點(diǎn),將數(shù)軸沿原點(diǎn)對折后的落點(diǎn)為,為的基準(zhǔn)變換點(diǎn),將數(shù)軸沿原點(diǎn)對折后的落點(diǎn)為,…,依此順序不斷地重復(fù),得到,,…,．若無論k為何值,與兩點(diǎn)間的距離都是4，則n=__________

Answer 1

【答案】2 4或12

【解析】

（1）①根據(jù)互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義可得出a+b=2，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；

②根據(jù)a+b=2，變換后即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，根據(jù)點(diǎn)A的運(yùn)動找出點(diǎn)B，結(jié)合互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)的定義即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)點(diǎn)Pn與點(diǎn)Qn的變化找出變化規(guī)律“P4n-1=2-m，Q4n-1=-m+4n-8；P4n=m、Q4n=m+8-4n”，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出關(guān)于n的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）①∵點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，點(diǎn)A與點(diǎn)B互為基準(zhǔn)變換點(diǎn)，

∵a+b=2．

當(dāng)a=0時(shí)，b=2；

當(dāng)a=4時(shí)，b=-2．

故答案為：2；-2．

②∵a+b=2，

∴b=2-a．

故答案為：2-a．

（2）設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，

根據(jù)題意得：，

解得：．

故答案為：．

（3）設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為m，則點(diǎn)Q表示的數(shù)為m+8，

由題意可知：P1表示的數(shù)為m+k，P2表示的數(shù)為2-（m+k），P3表示的數(shù)為2-m，P4表示的數(shù)為m，P5表示的數(shù)為m+k，…，

Q1表示的數(shù)為：-m-6，Q2表示的數(shù)為：m+6，Q3表示的數(shù)為：-m-4，Q4表示的數(shù)為：m+4，Q5表示的數(shù)為：-m-2，Q6表示的數(shù)為：m+2，…，

∴P4n-1=2-m，Q4n-1=-m+4n-8；P4n=m，Q4n=m+8-4n．

①|2-m-（-m+4n-8）|=4，即|-4n+10|=4，

解得：4n=6或4n=14，

又∵n為正整數(shù)，

∴4n為4的倍數(shù)，

∴6和14不符合題意，舍去；

②令|m-（m+8-4n）|=4，即|8-4n|=4，

解得：4n=4或4n=12．

故答案為：4或12．