Question

如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，B點(diǎn)位于第一象限，將△OAB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后，恰好A點(diǎn)在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上．
（1）求雙曲線y=

k

x

（x＞0）的解析式；
（2）等邊三角形OAB繼續(xù)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)多少度后，A點(diǎn)再次落在雙曲線上？

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOD中，OA=2，∠AOD=30°，就可以求出OD，AD的長(zhǎng)度，就得到A點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線y=

k

x

（x＞0）就可以求出函數(shù)的解析式；
（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象就可以得到．然后進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）如圖所示，
OA=2，∠AOD=30°，
在Rt△AOD中，
∴OD=OA•cos30°=2×

3

2

=

3

，
AD=OA•sin30°=2×

1

2

=1．
∴A（

3

，-1），
把x=

3

，y=-1代入y=

k

x

，
∴k=-

3

．
∴雙曲線的解析式為y=-

3

x

（x＞0）；

（2）猜想等邊三角形OAB繼續(xù)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后，A點(diǎn)再次落在雙曲線上，
如圖，此時(shí)A（1，-

3

），代入y=-

3

x

滿足，
故猜想正確．

點(diǎn)評(píng)：本題通過反比例函數(shù)的知識(shí)，考查學(xué)生的猜想探究能力．解題時(shí)先直觀地猜想，再按照從特殊到一般的方法去驗(yàn)證．