Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C．該拋物線的頂點為M．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）判斷△BCM的形狀，并說明理由；

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以點P、A、C為頂點的三角形與△BCM相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

       解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx﹣3的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴，

解得：，

則拋物線解析式為y=x²﹣2x﹣3；

（2）△BCM為直角三角形，理由為：

對于拋物線解析式y(tǒng)=x²﹣2x﹣3=（x﹣1）²﹣4，即頂點M坐標為（1，﹣4），

令x=0，得到y(tǒng)=﹣3，即C（0，﹣3），

根據(jù)勾股定理得：BC=3，BM=2，CM=，

∵BM²=BC²+CM²，

∴△BCM為直角三角形；

（3）如圖1，

連接AC，

∵△COA∽△CAP，△PCA∽△BCD，

∴Rt△COA∽Rt△BCD，P點與O點重合，

∴點P（0，0）．

如圖2，過A作AP₁⊥AC交y軸正半軸于P₁，

∵Rt△CAP₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，

∴=，

即=，

∴點P₁（0，）．

如圖3，過C作CP₂⊥AC交x軸正半軸于P₂，

∵Rt△P₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，

∴=，

即=，AP₂=10，

∴點P₂（9，0）．

∴符合條件的點有三個：O（0，0），P₁（0，），P₂（9，0）．

點評：    此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等知識，（3）題中能夠發(fā)現(xiàn)點O是符合要求的P點，是解決此題的突破口．