Question

【題目】如圖，拋物線 與 軸交于和，與 軸交于 點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式和對(duì)稱軸．

（2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在直線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖 3，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共圓時(shí)，請(qǐng)求出該圓圓心的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），x=1；（2）存在，點(diǎn) F 的坐標(biāo)為或或；（3）

【解析】

（1）把點(diǎn) 和代入 中求出解析式，再求出對(duì)稱軸即可；

（2）分分三種情況討論，作出示意圖，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可；

（3）分別作 的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為 點(diǎn)，點(diǎn)就是點(diǎn) 、、 三點(diǎn)共圓的圓心，先表示出EF和FM，再根據(jù)求出即可.

解：（1）把點(diǎn) 和代入 ，得

解得：，

∴拋物線的解析式為：，

∴對(duì)稱軸；

（2）存在，分三種情況討論，

①如圖 1 所示，

∵四邊形為平行四邊形，

∴可由平移得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) ，

∵，點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 1，

∴向右平移了一個(gè)單位，

∵，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 0，

設(shè)直線 的函數(shù)解析式為： ，

把點(diǎn)和 代入，得，

解得：，

∴直線 的函數(shù)解析式為：，

∴當(dāng) 時(shí)， ，

∴；

②如圖 2 所示，

此時(shí)點(diǎn) 與點(diǎn) 重合，

；

③如圖 3 所示，

根據(jù)平移的規(guī)律，得知點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為﹣2，

當(dāng) 時(shí)，，

；

綜上所述：點(diǎn) F 的坐標(biāo)為或或；

（3）如圖，分別作 的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為 點(diǎn)，點(diǎn)就是點(diǎn) 、、 三點(diǎn)共圓的圓心，

∵點(diǎn)是 的中點(diǎn)，

,

設(shè)直線 的解析式為： ，

把 代入上式，得，

，

當(dāng) 時(shí)，，解得：，

，

當(dāng)時(shí)，，

，

如圖，易證得：，

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，,，

∴點(diǎn) 、、三點(diǎn)共線的圓的圓心坐標(biāo)為.