如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB=1，OB=
3
，矩形ABOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到矩形EFOD．點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A，E，D．
（1）判斷點(diǎn)E是否在y軸上，并說明理由；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在x軸的上方是否存在點(diǎn)P，點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O，B，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點(diǎn)P在拋物線上？若存在，請求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）點(diǎn)E在y軸上
理由如下：
連接AO，如圖所示，在Rt△ABO中，∵AB=1，BO=
3
，
∴AO=2∴sin∠AOB=
1
2
，∴∠AOB=30°
由題意可知：∠AOE=60°∴∠BOE=∠AOB+∠AOE=30°+60°=90°
∵點(diǎn)B在x軸上，∴點(diǎn)E在y軸上．

（2）過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，
∵OD=1，∠DOM=30°
∴在Rt△DOM中，DM=
1
2
，OM=
3
2

∵點(diǎn)D在第一象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(
3
2
，
1
2
)
由（1）知EO=AO=2，點(diǎn)E在y軸的正半軸上
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-
3
，1）
∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)E，
∴c=2
由題意，將A（-
3
，1），D（
3
2
，
1
2
）代入y=ax2+bx+2中，
得
3a-
3
b+2=1
3
4
a+
3
2
b+2=
1
2

解得
a=-
8
9
b=-
5
3
9

∴所求拋物線表達(dá)式為：y=-
8
9
x2-
5
3
9
x+2

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)Q．
理由如下：∵矩形ABOC的面積=AB•BO=
3

∴以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為2
3
．
由題意可知OB為此平行四邊形一邊，
又∵OB=
3

∴OB邊上的高為2
依題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2）
∵點(diǎn)P在拋物線y=-
8
9
x2-
5
3
9
x+2上
∴-
8
9
m2-
5
3
9
m+2=2
解得，m1=0，m2=-
5
3
8

∴P1（0，2），P2（-
5
3
8
，2）
∵以O(shè)，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴PQ∥OB，PQ=OB=
3
，
∴當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q1（-
3
，2），Q2（
3
，2）；
當(dāng)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（-
5
3
8
，2）時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為Q3（-
13
3
8
，2），Q4（
3
3
8
，2）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=ax2+bx（a＞0）與雙曲線y=
k
x
相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且tan∠AOx=4．過點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計(jì)算△ABC的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD的面積等于△ABC的面積？若存在，請你寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=x2+bx+c交x軸于A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．
（1）求b、c的值并寫出拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，過點(diǎn)O作直線OE⊥BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E．求證：四邊形ODBE是等腰梯形；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的
1
3
？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

一條拋物線y=
1
4
x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)（0，
3
2
）與（4，
3
2
）．
（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）現(xiàn)有一半徑為1，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，設(shè)∠ABD=α，已知sinα是方程25x2-35x+12=0的一個(gè)實(shí)根，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點(diǎn)，EC+CF=8，設(shè)BE=x，△AEF的面積等于y．
（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)在什么位置時(shí)，y有最小值并求出這個(gè)最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知正方形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，拋物線y=-
2
3
x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A，B，交正x軸于點(diǎn)D，E是OC上的動(dòng)點(diǎn)（不與C重合）連接EB，過B點(diǎn)作BF⊥BE交y軸與F
（1）求b，c的值及D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)E在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OEBF的面積有怎樣的規(guī)律性？并證明你的結(jié)論；
（3）連接EF，BD，設(shè)OE=m，△BEF與△BED的面積之差為S，問：當(dāng)m為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

用長為6m的鋁合金型材做一個(gè)形狀如圖所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面積最大，則該窗的長，寬應(yīng)分別做成（　　）
A．1.5m，1mB．1m，0.5mC．2m，1mD．2m，0.5m

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知，二次函數(shù)y=mx2+3（m-
1
4
）x+4（m＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，且∠ACB=90度．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）矩形DEFG的一條邊DG在AB上，E、F分別在BC、AC上，設(shè)OD=x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）將（1）中所得拋物線向左平移2個(gè)單位后，與x軸交于A′、B′兩點(diǎn)（A′在B′的左邊），矩形D′E′F′G′的一條邊D′G′在A′B′上（G′在D′的左邊），E′、F′分別在拋物線上，矩形D′E′F′G′的周長是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=
3
3
x2-
4
3
3
x+
3
與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B、C兩點(diǎn)（C在B的左邊）．
（1）過A、O、B三點(diǎn)作⊙M，求⊙M的半徑；
（2）點(diǎn)P為弧OAB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何位置時(shí)△OPB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△OPB的最大面積．

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同步練習(xí)冊答案