Question

【題目】如圖，在中，，是邊的中點(diǎn)，以為腰向外作等腰直角三角形，，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接.

(1)若，則 ;

(2)求證: ;

(3)若，則 .

Answer 1

【答案】(1) 20°； (2)見解析；(3)18.

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAF=∠CAF，根據(jù)SAS推出△BAF≌△CAF，根據(jù)全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（3）根據(jù)全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根據(jù)勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出答案．

(1)∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

又∵∠BAC=50°,∠EAC=90°，

∴∠BAE=50°+90°=140°，

∴∠AEB=(180°140°)÷2=20°；

(2)證明：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴∠BAF=∠CAF.

在△BAF和△CAF中, ，

∴△BAF≌△CAF(SAS).

∴∠ABF=∠ACF.

又∵AB=AC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠AEB=∠ACF.

(3)

∵△BAF≌△CAF，

∴BF=CF.

∴∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC.

∴∠CFG=∠EAG=90°.

∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2.

∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠CAE=90°，AC=AE.

∴EC2=AC2+AE2=2AC2=18.

即EF2+BF2=18.

故答案為：18.