Question

【題目】①已知：△ABC中，BC=m，∠A=60°．問滿足此條件的三角形有多少個(gè)？它們的最大面積存在嗎？若存在求出最大面積，并回答此時(shí)三角形的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

②有一個(gè)正方形的養(yǎng)魚塘，四個(gè)角各有一棵大樹．生產(chǎn)隊(duì)設(shè)想把魚塘擴(kuò)大，使它成為一個(gè)面積最大的正方形，而又不把樹挖掉，這一設(shè)想能否實(shí)現(xiàn)？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)畫出圖形，并證明此時(shí)面積最大．若不能，請(qǐng)說明理由．

③上問題推廣，有一個(gè)正五邊形的養(yǎng)魚塘，五個(gè)角各有一棵樹，要擴(kuò)大使它成為面積最大的正五邊形，而又不把樹挖掉，可以嗎？畫圖說明．

Answer 1

【答案】

①見解析；②見解析；③見解析.

【解析】試題分析：①根據(jù)A一定在以BC為弦，BC一側(cè)，所對(duì)的圓周角是60°的圓上，當(dāng)AB=AC時(shí)，△ABC的面積最大，據(jù)此即可求解；

②過各頂點(diǎn)作對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的垂線，各條線組成的四邊形，就是所求的四邊形；

③過各個(gè)頂點(diǎn)作正五邊形，使各頂點(diǎn)時(shí)正五邊形的各邊的中點(diǎn)．

試題解析：①在△ABC中，BC=m，∠A=60°滿足此條件的三角形有無數(shù)個(gè)；

如圖，作△ABC的外接圓，

當(dāng)A是優(yōu)弧BAC的中點(diǎn)時(shí)，BC邊上的高最大，因而面積最大，

最大面積為S=BCAD=mm=m2，

如下圖，此時(shí)三角形為等邊三角形；

②能夠?qū)崿F(xiàn)設(shè)想，設(shè)計(jì)圖形如下：

③可以，設(shè)計(jì)圖形如下：