Question

已知函數(shù)y=x²-4x與x軸交于原點(diǎn)O及點(diǎn)A，直線y=x+a過點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)與a的值；
（2）是否在拋物線的對(duì)稱軸存在點(diǎn)C，在拋物線上存在點(diǎn)D，使得四邊形ABCD為平行四邊形？若存在求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說明理由；
（3）若（2）中的平行四邊形存在，則以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑的⊙C與直線AB有何位置關(guān)系？并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)y=x²-4x與x軸交于原點(diǎn)O及點(diǎn)A，當(dāng)y=0，0=x²-4x，求出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出a的值，再求出兩圖象交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離求法得出CD=AB=3

2

，BC=

12+52

=

26

，AC=

22+22

=2

2

，即可得出AC⊥AB，進(jìn)而得出⊙C與直線AB相交．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=x²-4x與x軸交于原點(diǎn)O及點(diǎn)A，
∴當(dāng)y=0，0=x²-4x，
解得：x₁=0，x₂=4，
故圖象與x軸交于A點(diǎn)：（4，0），
將A點(diǎn)代入y=x+a，
得：0=4+a，
則a=-4，
將y=x-4與y=x²-4x聯(lián)立：

y=x-4 y=x2-4x

，
解得：

x1=1 y1=-3

，

x2=4 y2=0

，
故B的坐標(biāo)（1，-3），a=-4；

（2）存在．
如圖所示，假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，
因?yàn)锽C∥AD，BC=AD，又點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，-3），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，
所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4+1=5，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)y=5²-4×5=5，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-3+5=2，
即C（2，2），D（5，5）；

（3）⊙C與直線AB相交．理由如下：
如圖所示，連接AC，
∵C（2，2），D（5，5），B（1，-3），A（4，0），
∴CD=AB=3

2

，BC=

12+52

=

26

，AC=

22+22

=2

2

，
∴CD²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥AB，
∵AC=2

2

＜3

2

，
因此⊙C與直線AB相交．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離求法，正確求出C，D兩點(diǎn)距離是解題關(guān)鍵．