Question

【題目】某工廠生產(chǎn)一種合金薄板（其厚度忽略不計(jì)）這些薄板的形狀均為正方形，邊長（單位：cm）在5～50之間，每張薄板的成本價(jià)（單位：元）與它的面積（單位：cm2）成正比例，每張薄板的出廠價(jià)（單位：元）由基礎(chǔ)價(jià)和浮動(dòng)價(jià)兩部分組成，（即出廠價(jià)=基礎(chǔ)價(jià)+浮動(dòng)價(jià)）其中基礎(chǔ)價(jià)與薄板的大小無關(guān)，是固定不變的，浮動(dòng)價(jià)與薄板的邊長x成正比例，在營銷過程中得到了表格中的數(shù)據(jù)，已知出廠一張邊長為40cm的薄板，獲得利潤是26元.（利潤=出廠價(jià)-成本價(jià)）

薄板的邊長（cm）	20	30
出廠價(jià)（元/張）	50	70

（1）求一張薄板的出廠價(jià)y與邊長x之間滿足的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求一張薄板的利潤p與邊長x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）若一張薄板的利潤是34元，且成本最低，此時(shí)薄板的邊長為多少？當(dāng)薄板的邊長為多少時(shí)，所獲利潤最大，求出這個(gè)最大值。

Answer 1

【答案】（1）y=2x+10 （2）（3）一張薄板的利潤是34元，且成本最低時(shí)薄板的邊長為20cm；當(dāng)薄板的邊長為25cm時(shí)，所獲利潤最大，最大值為875元。

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）首先假設(shè)一張薄板的利潤為p元，它的成本價(jià)為mx2元，由題意，得：p=y-mx2，進(jìn)而得出m的值，求出函數(shù)解析式即可；
（3）利用二次函數(shù)的最值公式求出二次函數(shù)的最值即可．

解：（1）設(shè)一張薄板的邊長為x cm，它的出廠價(jià)為y元，基礎(chǔ)價(jià)為n元，浮動(dòng)價(jià)為kx元，則y=kx+n

由表格中數(shù)據(jù)得，解得

∴y=2x+10

（2）設(shè)一張薄板的利潤為P元，它的成本價(jià)為mx2元，由題意得P= y-mx2＝2x+10-mx2

將x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26= 解得m=

∴.

（3）當(dāng)P=34時(shí)， x=20，x=30（舍去），

所以一張薄板的利潤是34元，且成本最低時(shí)薄板的邊長為20cm；當(dāng)薄板的邊長為25cm時(shí)，所獲利潤最大，最大值為875元。