【題目】如圖,已知為
斜邊BC上的高,點E為DA延長線上一點,連結(jié)
,過點
作
于點F,交AB、AD于
、
兩點.
(1)證明:
(2)若,
,求
的長.
(3)若,且
,且線段BF與EF的長是關(guān)于
的一元二次方程
的兩個實數(shù)根,求
的長.
【答案】(1)見解析(2)DE=8.(3)BC=5.
【解析】
(1)判斷出△BDE∽△NDC即可證明,
(2)先證明△ADC∽△BDA得到,即AD2=BDDC,再證明△EBD∽△CND,得到
,故BDDC=EDDN,AD2=EDDN,結(jié)合
,
,故AD=DN+AN=3,得到32=
DE,故可求解;
(3)先證明∠ACM=∠FBM,由(2)可知∠E=∠FCB,∠ABE=∠E,AB=AE
過點M作MG⊥AN于點G,根據(jù)MG∥BD得,由
,得到
,故
,過點A作AH⊥EF于點H,再由AH∥FN,得
,設(shè)EH=8a,則FH=3a,得到BF=5a,EF=11a,由根與系數(shù)關(guān)系列出方程組解得:a=±
,得到BF=
,再證明△ACN∽△BCM,得到
,設(shè)AC=3b,則BC=5b,在Rt△ABC和 Rt△ACM中,求出MC=
b,再根據(jù)△ACM∽△FCB得
,得到
,即可求解BC.
(1)證明: ∵CF⊥BE,AD⊥CD,
∴∠EFN=∠NDC=90°,
又∠ENF=∠CND,
∴∠E=∠DCN,
又∠EDB=∠EDC=90°,
∴△BDE∽△NDC
∴
故
(2)解:∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∠DAC=∠DBA,
∴△ADC∽△BDA,
∴,
∴AD2=BDDC,
∵CF⊥BE,
∴∠FCB+∠EBD=90°,
∵∠E+∠EBD=90°,
∴∠E=∠FCB,
∵∠NDC=∠EDB=90°,
∴△EBD∽△CND,
∴,
∴BDDC=EDDN,
∴AD2=EDDN,
∵,
,
∴AD=DN+AN=3,
∴32=DE,
∴DE=8.
(3)∵AM=AN,
∴∠AMN=∠ANM
∵∠AMN+∠ACN=90°,∠DNC+∠NCD=90°,
∴∠ACM=∠NCD
∵∠BMF+∠FBM=90°,∠AMC+∠ACM=90°,
∴∠ACM=∠FBM
由(2)可知∠E=∠FCB,
∴∠ABE=∠E,
∴AB=AE
過點M作MG⊥AN于點G
由MG∥BD得,
∴,
∴,
∴,
過點A作AH⊥EF于點H,
由AH∥FN,
得,
設(shè)EH=8a,則FH=3a,
∵AE=AB,
∴BH=HE=8a,
∴BF=5a,EF=11a,
由根與系數(shù)關(guān)系得,
解得:a=±,
∵a>0,a=,
∴BF=,
由∠ACM=∠MCB,∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM,
∴
設(shè)AC=3b,則BC=5b
在Rt△ABC中,有AB=4b.
∴AM=b.
在Rt△ACM中,有MC=b
由△ACM∽△FCB得,∴
,
∴BC=5.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y=
x2+bx+c經(jīng)過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點A1的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b與二次函數(shù)y2=ax2的圖象交于A、B兩點.
(1)利用圖中條件,求兩個函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出使y1>y2的x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以△ABC的BC邊上一點O為圓心,經(jīng)過A,C兩點且與BC邊交于點E,點D為CE的下半圓弧的中點,連接AD交線段EO于點F,若AB=BF.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若CF=4,DF=,求⊙O的半徑r及sinB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,拋物線經(jīng)過點M(1,3)和N(3,5)
(1)試判斷該拋物線與x軸交點的情況;
(2)平移這條拋物線,使平移后的拋物線經(jīng)過點A(﹣2,0),且與y軸交于點B,同時滿足以A、O、B為頂點的三角形是等腰直角三角形,請你寫出平移過程,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的邊長為4,頂點A,C分別在x軸、y軸的正半軸上,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B,C兩點,點D為拋物線的頂點,連接AC,BD,CD.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求此拋物線頂點D的坐標(biāo)和四邊形ABDC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一條筆直的公路上有A、B兩地,甲騎自行車從A地到B地;乙騎摩托車從B地到A地,到達A地后立即按原路返回.如圖是甲、乙兩人離B地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象解答以下問題:
(1)直接寫出y甲,y乙與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不寫過程);
(2)①求出點M的坐標(biāo),并解釋該點坐標(biāo)所表示的實際意義;
②根據(jù)圖象判斷,x取何值時,y乙>y甲.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)商店以2元的批發(fā)價進了一批紀(jì)念品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每個定價3元,每天可以能賣出500件,而且定價每上漲0.1元,其銷售量將減少10件.根據(jù)規(guī)定:紀(jì)念品售價不能超過批發(fā)價的2.5倍.
(1)當(dāng)每個紀(jì)念品定價為3.5元時,商店每天能賣出________件;
(2)如果商店要實現(xiàn)每天800元的銷售利潤,那該如何定價?
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