Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)是直線位于軸右側(cè)部分圖象上一點(diǎn)，連接，已知．

（1）求直線的解析式；

（2）如圖2，沿著直線平移得，平移后的點(diǎn)與點(diǎn)重合．點(diǎn)為直線上的一動點(diǎn)，當(dāng)的值最小時，請求出的最小值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖3，將沿直線是翻折得點(diǎn)為平面內(nèi)任意一動點(diǎn)，在直線上是否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形；若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）點(diǎn)，，最小值；

（3）點(diǎn)，或，．

【解析】

（1）點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，即此時，最小，最小值為，即可求解；

（3）點(diǎn)、均在直線上，而與不垂直，故點(diǎn)不可能是矩形的邊，只能是矩形的對角線，即可求解．

解：（1）點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)，

將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，解得：，

故直線的表達(dá)式為：；

（2）過點(diǎn)作直線軸，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，故，，

，，

則，即此時，最小，最小值為，

，則，

故點(diǎn)，，

，則點(diǎn)，，

則點(diǎn)，，

點(diǎn)，，

最小值；

（3）存在，理由：

①當(dāng)時，

如圖，

，，

則，

故點(diǎn)，；

、、、為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

點(diǎn)位置如下圖所示，設(shè)點(diǎn)，

將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)：得：，解得：，

故直線的表達(dá)式為：①，

，則設(shè)直線的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，解得：，

故：直線的表達(dá)式為：②，

聯(lián)立①②并解得：，

故點(diǎn)，；

②當(dāng)時，

同理可得：點(diǎn)，；

綜上所述，點(diǎn)，或，．