Question

【題目】如圖，直線與 x 軸交于點(diǎn) C，與 y 軸交于點(diǎn) B，拋物線 經(jīng)過(guò) B、C 兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn) E 是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與 B，C 兩點(diǎn)重合），△BEC 面積記為 S，當(dāng) S 取何值時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn) E 有且只有三個(gè)？

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】

（1）先利用一次函數(shù)解析式確定B（0，3），C（4，0），然后利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

（2）由于E點(diǎn)在直線BC的下方的拋物線上時(shí)，存在兩個(gè)對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)滿足△BEC面積為S，則當(dāng)E點(diǎn)在直線BC的上方的拋物線上時(shí)，只能有一個(gè)對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)滿足△BEC面積為S，所以過(guò)E點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)此時(shí)直線解析式為，利用方程組只有一組解求出b得到E點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算此時(shí)S△BEC．

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-x+3=3，則B（0，3），

當(dāng)y=0時(shí)，-x+3=0，解得x=4，則C（4，0），

把B（0，3），C（4，0）代入y=ax2+x+c得，

所以拋物線解析式為；

（2）當(dāng)E點(diǎn)在直線BC的下方的拋物線上時(shí)，一定有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)滿足△BEC面積為S，

所以當(dāng)E點(diǎn)在直線BC的上方的拋物線上時(shí)，只能有一個(gè)對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)滿足△BEC面積為S，

即此時(shí)過(guò)E點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

設(shè)此時(shí)直線解析式為，

方程組只有一組解，

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，

則△=122-4×3×（-24+8b）=0，解得b=，解方程得x1=x2=2，

E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），

此時(shí)，

所以當(dāng)S=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E有且只有三個(gè)．