已知拋物線的頂點(diǎn)為(0,4)且與x軸交于(-2,0),(2,0).

(1)直接寫出拋物線解析式;
(2)如圖,將拋物線向右平移k個(gè)單位,設(shè)平移后拋物線的頂點(diǎn)為D,與x軸的交點(diǎn)為A、B,與原拋物線的交點(diǎn)為P.
①當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切于E時(shí),求此時(shí)k的值;
②是否存在這樣的k值,使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上?若存在,求出k值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為(0,4),
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+4,
又∵拋物線過(guò)點(diǎn)(2,0),
∴0=4a+4,解得a=-1,
∴拋物線解析式為y=-x2+4;

(2)①如圖,連接CE,CD.
∵OD是⊙C的切線,∴CE⊥OD.
在Rt△CDE中,∠CED=90°,CE=AC=2,DC=4,
∴∠EDC=30°,
∴在Rt△CDO中,∠OCD=90°,CD=4,∠ODC=30°,
∴OC=
4
3
3
,
∴當(dāng)直線OD與以AB為直徑的圓相切時(shí),k=OC=
4
3
3
;

②存在k=2
2
,能夠使得點(diǎn)O、P、D三點(diǎn)恰好在同一條直線上.理由如下:
設(shè)拋物線y=-x2+4向右平移k個(gè)單位后的解析式是y=-(x-k)2+4,它與y=-x2+4交于點(diǎn)P,
由-(x-k)2+4=-x2+4,解得x1=
k
2
,x2=0(不合題意舍去),
當(dāng)x=
k
2
時(shí),y=-
1
4
k2+4,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(
k
2
,-
1
4
k2+4).
設(shè)直線OD的解析式為y=mx,把D(k,4)代入,
得mk=4,解得m=
4
k
,
∴直線OD的解析式為y=
4
k
x,
若點(diǎn)P(
k
2
,-
1
4
k2+4)在直線y=
4
k
x上,得-
1
4
k2+4=
4
k
k
2
,
解得k=±2
2
(負(fù)值舍去),
∴當(dāng)k=2
2
時(shí),O、P、D三點(diǎn)在同一條直線上.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)y=
1
2
x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,6),并與x軸交于點(diǎn)B(-1,0)和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為P.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并在下面的坐標(biāo)系中畫(huà)出該二次函數(shù)的圖象;
(2)設(shè)D為線段OC上的一點(diǎn),滿足∠DPC=∠BAC,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M,使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,四邊形ABCD是梯形,sin∠OAD=tan∠OBC=
2
3
,PC是拋物線的對(duì)稱軸,且P(3,-3).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)求直線AD的函數(shù)表達(dá)式;
(4)PD與AD垂直嗎?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

(a011•玉溪)如圖,函數(shù)y=-xa+bx+cx部分圖象與x軸、y軸x交點(diǎn)分別為A(1,0),B(0,3),對(duì)稱軸是x=-1,在下列結(jié)論中,錯(cuò)誤x是( 。
A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4)
B.函數(shù)的解析式為y=-x2-2x+3
C.當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大
D.拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(-3,0)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,利用兩面夾角為135°且足夠長(zhǎng)的墻,圍成梯形圍欄ABCD,∠C=90°,新建墻BCD總長(zhǎng)為15m,則當(dāng)CD=______m時(shí),梯形圍欄的面積最大.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OABC,∠AOC=90°,ABOC,OC在x軸上,過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式為y=-
1
18
x2+
4
9
x+10

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如果在梯形OABC內(nèi)有一矩形MNPO,使M在y軸上,N在BC邊上,P在OC邊上,當(dāng)MN為多少時(shí),矩形MNPO的面積最大?最大面積是多少?
(3)若用一條直線將梯形OABC分為面積相等的兩部分,試說(shuō)明你的分法.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

二次函數(shù)y=
2
3
x2的圖象如圖所示,點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn),A1,A2,A3,…,A2010在y軸的正半軸上,B1,B2,B3,…,B2010在二次函數(shù)第一象限的圖象上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2009B2010A2010都為等邊三角形,請(qǐng)計(jì)算△A2009B2010A2010的邊長(zhǎng)=______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知二次函數(shù)y=x2-4ax+4a2+a-1(a為常數(shù)),當(dāng)a取不同的值時(shí),其圖象構(gòu)成一個(gè)“拋物線系”.如圖分別是當(dāng)a=t1,a=t2,a=t3,a=t4時(shí)二次函數(shù)的圖象,它們的頂點(diǎn)在一條直線上,則這條直線的解析式是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖,若一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根,則m的最大值為(  )
A.-3B.3C.-6D.9

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