【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10,∠C=30°,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t(t>0)秒,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE、EF.
(1)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF是等邊三角形?說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?(請(qǐng)直接寫出t的值)
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)t為時(shí),△DEF是等邊三角形;見解析;(3)當(dāng)t為或4時(shí),△DEF為直角三角形.
【解析】
(1)在Rt△CDF中,利用30度角的對(duì)邊等于斜邊的一半,即可得出DF的長(zhǎng),此題得解;
(2)易知當(dāng)△DEF是等邊三角形時(shí),△EDA是等邊三角形,由∠A=60°可得出AD=AE,進(jìn)而可得出關(guān)于t的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論;
(3)易知當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí),△EDA是直角三角形,分∠AED=90°和∠ADE=90°兩種情況考慮,利用30度角的對(duì)邊等于斜邊的一半,可得出關(guān)于t的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論.
解:(1)證明:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,
∴DF=t.
又∵AE=t,
∴AE=DF,
∵AE∥DF,
∴四邊形AEFD是平行四邊形.
(2)∵四邊形AEFD是平行四邊形,
∴當(dāng)△DEF是等邊三角形時(shí),△EDA是等邊三角形.
∵∠A=90°-∠C=60°,
∴AD=AE.
∵AE=t,AD=AC-CD=10-2t,
∴t=10-2t,
∴t=,
∴當(dāng)t為時(shí),△DEF是等邊三角形.
(3)∵四邊形AEFD是平行四邊形,
∴當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí),△EDA是直角三角形.
當(dāng)∠AED=90°時(shí),AD=2AE,即10-2t=2t,
解得:t=;
當(dāng)∠ADE=90°時(shí),AE=2AD,即t=2(10-2t),
解得:t=4.
綜上所述:當(dāng)t為或4時(shí),△DEF為直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列材料
利用完全平方公式,將多項(xiàng)式x2+bx+c變形為(x+m)2+n的形式,然后由(x+m)2≥0就可求出多項(xiàng)式x2+bx+c的最小值.
例題:求x2-12x+37的最小值.
解:x2-12x+37=x2-2x·6+62-62+37=(x-6)2+1,
因?yàn)椴徽?/span>x取何值,(x-6)2總是非負(fù)數(shù),即(x-6)2≥0,
所以(x-6)2+1≥1.
所以當(dāng)x=6時(shí),x2-12x+37有最小值,最小值是1.
根據(jù)上述材料,解答下列問題:
(1)填空:x2-8x+_________=(x-_______)2,
(2)將x2+10x-2變形為(x+m)2+n的形式,并求出x2+10x-2的最小值,
(3)如圖①所示的長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)分別是2a+5、3a+2,面積為S1:如圖②所示的長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)分別是5a、a+5,面積為S2. 試比較S1與S2的大小,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),M是線段AC的中點(diǎn),N是線段BC的中點(diǎn).
(1)如果AB=10cm,AM=3cm,求CN的長(zhǎng);
(2)如果MN=6cm,求AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC=2,以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E,且點(diǎn)D為BC的中點(diǎn).
(1)求證:△ABC為等邊三角形;
(2)求DE的長(zhǎng);
(3)在線段AB的延長(zhǎng)線上是否存在一點(diǎn)P,使△PBD≌△AED?若存在,請(qǐng)求出PB的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電器商場(chǎng)銷售A,B兩種型號(hào)計(jì)算器,兩種計(jì)算器的進(jìn)貨價(jià)格分別為每臺(tái)30元,40元. 商場(chǎng)銷售5臺(tái)A型號(hào)和1臺(tái)B型號(hào)計(jì)算器,可獲利潤(rùn)76元;銷售6臺(tái)A型號(hào)和3臺(tái)B型號(hào)計(jì)算器,可獲利120元.
(1)求商場(chǎng)銷售A,B兩種型號(hào)計(jì)算器的銷售價(jià)格分別是多少元?(利潤(rùn)=銷售價(jià)格﹣進(jìn)貨價(jià)格)
(2)商場(chǎng)準(zhǔn)備用不多于2500元的資金購進(jìn)A,B兩種型號(hào)計(jì)算器共70臺(tái),問最少需要購進(jìn)A型號(hào)的計(jì)算器多少臺(tái)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△DBE,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB延長(zhǎng)線上,連接AD.下列結(jié)論一定正確的是()
A. AD∥BC B. ∠CBE=∠C C. ∠ABD=∠E D. AD=BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相較于點(diǎn)O,EF過點(diǎn)O,且與AD、BC分別相交于E、F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,則四邊形EFCD的周長(zhǎng)是( )
A.16B.14C.12D.10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中, , , , , ,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿線段 的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn) C出發(fā),在線段 上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) 運(yùn)動(dòng);點(diǎn)P, 分別從點(diǎn)D,C同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 時(shí),點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒).
(1)當(dāng) 時(shí),求 的面積;
(2)若四邊形為平行四邊形,求運(yùn)動(dòng)時(shí)間 .
(3)當(dāng) 為何值時(shí),以 B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為測(cè)量一座山峰CF的高度,將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段,每一段山坡近似是“直”的,測(cè)得坡長(zhǎng)AB=800米,BC=200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.
(1)求AB段山坡的高度EF;
(2)求山峰的高度CF.(1.414,CF結(jié)果精確到米)
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