Question

18．已知正方形ABCD，BD為正方形的對(duì)角線過頂點(diǎn)A作MN∥DB，在MN上取一點(diǎn)F，使得DF=DB，DF交AB于E，求證：BE=BF．

Answer 1

分析 過A作AG⊥BD于G，過F作FH⊥BD于H．先證明四邊形AGHF為矩形，根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)得到AG=FH=$\frac{1}{2}$DB，進(jìn)一步得到FH=$\frac{1}{2}$DE，由直角三角形FHD中，F(xiàn)H為斜邊DE的一半得到∠FDH=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得到∠BEF=∠DFB，從而得到BE=BF．

解答 證明：過A作AG⊥BD于G，過F作FH⊥BD于H．
∵M(jìn)N∥DB，
∴四邊形AGHF為矩形，
∴AG=FH=$\frac{1}{2}$DB，
又∵DF=DB，
∴FH=$\frac{1}{2}$DF，
∴∠FDH=30°，
又∵BD=DF，
∴∠DFB=∠FBD=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠BEF=∠EBD+∠FDB=45°+30°=75°=∠DFB，
∴BE=BF．

點(diǎn)評(píng) 考查了矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線．