Question

18．如圖，正方形ABCD，點(diǎn)E在AD上，將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CFG，點(diǎn)F，G分別為點(diǎn)D，E旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接EG，DB，DF，DB與CE交于點(diǎn)M，DF與CG交于點(diǎn)N．
（1）求證BM=DN；
（2）直接寫(xiě)出圖中已經(jīng)存在的所有等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠DCB=90°，CD=CB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，則可判斷△CDF為等腰直角三角形，所以∠CDF=∠CFD=45°，然后證明△BCM≌△DCN，則BM=DN；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可判斷△ABD和△BCD為等腰直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷△CDF和△ECG為等腰直角三角形，然后判斷△BDF為腰直角三角形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DCB=90°，CD=CB，
∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CFG，
∴CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，
∴△CDF為等腰直角三角形，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
∵∠BCM+∠DCE=90°，∠DCN+∠DCE=90°，
∴∠BCM=∠DCN，
∵∠CBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠CBM=∠CDN，
在△BCM和△DCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBC=∠NDC}\\{CB=CD}\\{∠BCM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DCN，
∴BM=DN；
（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴△ABD和△BCD為等腰直角三角形；
由（1）得△CDF為等腰三角形；
∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CFG，
∴CE=CG，∠ECG=90°，
∴△ECG為等腰直角三角形；
∵△CBD和△CFD為等腰直角三角形；
∴△BDF為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定方法和正方形的性質(zhì)．