Question

如圖，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，AP是⊙O的切線，P為切點，弦PD⊥BE于C，連接OD，
（1）求證：∠APC=∠AOD；
（2）若OC：CB=1：2且AB=6，求⊙O的半徑及∠APB的正切值．

Answer 1

解：（1）證明：連接OP．
∵OP=OD，∴∠OPD=∠D；
∵PD⊥BE，
∴∠OCD=90°；
在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，
又∵AP是⊙O的切線，
∴AP⊥OP，
則∠OPD+∠APC=90°，
∴∠APC=∠AOD；

（2）連接PE．
∴∠BPE=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
∵AP是⊙O的切線，
∴∠APB=∠OPE=∠PEA；
∵OC：CB=1：2，
∴設OC=x，則BC=2x，OP=OB=3x；
在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：
PC²=OP²-OC²=8x²；
在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：
PC²=OC•AC，即8x²=x（2x+6），6x²=6x，
解得x=0（舍去），x=1；
∴OP=OB=3，PC=2，CE=OC+OE=3+1=4，
∴tan∠APB=tan∠PEC==
∴⊙O的半徑為3，∠APB的正切值是．
分析：（1）連接OP．可結合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性質進行證明；
（2）根據OC、BC的比例關系，可用未知數表示出OC、BC的表達式，進而可得OP、OB的表達式；在Rt△AOP中，PC⊥OA，根據射影定理得：PC²=PC•AC，PC²的表達式可在Rt△OPC中由勾股定理求得，由此求得未知數的知，從而確定PC、CE的長，也就能求出⊙O的半徑和∠APB的正切值．
點評：本題綜合考查了垂徑定理、圓周角定理、切線的性質以及銳角三角函數的定義．解答（2）中∠APB的正切值的關鍵是根據切線的性質、等腰三角形的性質及圓周角定理求得∠APB=∠OPE=∠PEA．