Question

已知⊙O₁與⊙O₂相交于點A，B，一條直線過A點分別與兩圓相交于Y，Z，兩圓分別在Y，Z處的切線相交于X，設(shè)△O₁O₂B的外接圓為⊙O，直線XB交⊙O于另一點Q，若YO₁與ZO₂相交于點P．求證：
（1）點P在⊙O上，且線段PQ是⊙O的一條直徑；
（2）XQ=PQ．

Answer 1

分析：（1）連接BY，BZ，先證明點P在⊙O上，再證明Y，Z，B，P四點共圓，從而得到線段PQ是⊙O的一條直徑；
（2）由△O₁EB∽△QEP，得

O1E

O1Y

=

O1E

O1B

=

QE

PQ

，又XY∥O₁Q得

O1E

O1Y

=

QE

XQ

，從而得出XQ=PQ．

解答：證明：（1）連接BY，BZ，
∠O₁PO₂=180°-∠O₁YA-∠O₂ZA=180°-∠O₁AY-∠O₂AZ=∠O₁AO₂=∠O₁BO₂
則∠YBZ=180°-（∠AYB+∠AZB）
=180°-（

1

2

∠AO₁B+

1

2

∠O₂AZ）
=180°-（∠BO₁O₂+∠BO₂O₁）
=∠O₁BO₂=∠O₁PO₂
=∠YPZ
所以Y，Z，B，P四點共圓，
又有∠XYP=∠XZP=90°知X，Y，P，Z四點共圓，所以B，X，Y，P，Z五點共圓，從而∠XBP=90°，即∠QBP=90°，
故線段PQ是⊙O的一條直徑

（2）設(shè)XB，YP相交于點E，則

O1E

O1Y

=

O1E

O1B

=

QE

PQ

，（因為△O₁EB∽△QEP）
又由XY∥O₁Q（因為∠QO₁P=90°）得

O1E

O1Y

=

QE

XQ

，
所以PQ=XP

點評：本題考查了確定圓的條件、相似三角形的判定和性質(zhì)，是一道綜合題，難度較大．