Question

如圖，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑的圓的一條弧，點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與A、D不重合），過E作AC所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)
小題1:當(dāng)∠DEF＝時，試說明點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；
小題2:設(shè)AE＝，F(xiàn)C＝，用含有的代數(shù)式來表示，并寫出的取值范圍
小題3:如果把△DEF沿直線EF對折后得△，如圖2，當(dāng) 時，討論△與△是否相似，如果相似，請加以證明；如果不相似，只要寫出結(jié)論，不要求寫出理由．

Answer 1

小題1:∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圓B的半徑，AD⊥AB，
∴AD切圓B于點(diǎn)A．
同理：CD切圓B于點(diǎn)C．
又∵EF切圓B于點(diǎn)G，
∴AE=EG，F(xiàn)C=FG．
∴EG=FG，即G為線段EF的中點(diǎn)．
小題2:根據(jù)（1）中的線段之間的關(guān)系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根據(jù)勾股定理，得：
（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y= （0＜x＜1）．
小題3:當(dāng)EF= 時，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+ = ，
解得x₁= 或x₂= ．
①當(dāng)AE= 時，△AD₁D∽△ED₁F，
證明：設(shè)直線EF交線段DD₁于點(diǎn)H，由題意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE= ，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠ED₁F=∠AD₁D．
∴△ED₁F∽△AD₁D．
②當(dāng)AE= 時，△ED₁F與△AD₁D不相似．

此題綜合運(yùn)用了切線長定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠發(fā)現(xiàn)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)進(jìn)行分析證明