Question

【題目】有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：
第一個(gè)數(shù)是 ；
第二個(gè)數(shù)是 ；
第三個(gè)數(shù)是 ；
…
對(duì)任何正整數(shù)n，第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于 ．
（1）經(jīng)過(guò)探究，我們發(fā)現(xiàn)：
設(shè)這列數(shù)的第5個(gè)數(shù)為a，那么 ， ， ，哪個(gè)正確？
請(qǐng)你直接寫出正確的結(jié)論；
（2）請(qǐng)你觀察第1個(gè)數(shù)、第2個(gè)數(shù)、第3個(gè)數(shù)，猜想這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)（即用正整數(shù)n表示第n數(shù)），并且證明你的猜想滿足“第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于 ”；
（3）設(shè)M表示 ， ， ，…， ，這2016個(gè)數(shù)的和，即 ，
求證： ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意知第5個(gè)數(shù)a= = ﹣

（2）

解：∵第n個(gè)數(shù)為 ，第（n+1）個(gè)數(shù)為 ，

∴ + = （ + ）

= ×

= ×

= ，

即第n個(gè)數(shù)與第（n+1）個(gè)數(shù)的和等于

（3）

解：∵1﹣ = ＜ =1，

= ＜ ＜ =1﹣ ，

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

…

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，

∴1﹣ ＜ + + +…+ + ＜2﹣ ，

即 ＜ + + +…+ + ＜ ，

∴

【解析】（1）由已知規(guī)律可得；（2）先根據(jù)已知規(guī)律寫出第n、n+1個(gè)數(shù)，再根據(jù)分式的運(yùn)算化簡(jiǎn)可得；（3）將每個(gè)分式根據(jù) ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ ，展開后再全部相加可得結(jié)論． 本題主要考查分式的混合運(yùn)算及數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)已知規(guī)律 = ﹣ 得到 ﹣ = ＜ ＜ = ﹣ 是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用分式的混合運(yùn)算和數(shù)與式的規(guī)律的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握運(yùn)算的順序:第一級(jí)運(yùn)算是加法和減法;第二級(jí)運(yùn)算是乘法和除法;第三級(jí)運(yùn)算是乘方.如果一個(gè)式子里含有幾級(jí)運(yùn)算,那么先做第三級(jí)運(yùn)算,再作第二級(jí)運(yùn)算,最后再做第一級(jí)運(yùn)算;如果有括號(hào)先做括號(hào)里面的運(yùn)算.如順口溜:"先三后二再做一,有了括號(hào)先做里."當(dāng)有多層括號(hào)時(shí),先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算,從里向外{[(?)]}；先從圖形上尋找規(guī)律，然后驗(yàn)證規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律，即數(shù)形結(jié)合尋找規(guī)律．