Question

【題目】某商家獨(dú)家銷售具有地方特色的某種商品，每件進(jìn)價(jià)為40元．經(jīng)過市場調(diào)查，一周的銷售量y件與銷售單價(jià)x（x≥50）元/件的關(guān)系如下表：

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：

（2）設(shè)一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，一周的銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而增大？

（3）雅安地震牽動(dòng)億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災(zāi)區(qū)，在商家購進(jìn)該商品的貨款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數(shù)額是多少元？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣10x+1000，（x≥50）；（2）S=＝﹣10x2+1400x﹣40000，當(dāng)50＜x＜70時(shí)，銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而增大；（3）8750．

【解析】

由圖表可知，y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝kx＋b，將表格中的兩組數(shù)據(jù)代入得，，②－①得，10k＝-100，解得k＝-10，將k＝-10代入①得，b＝1000，故y＝-10x＋1000.

根據(jù)利潤等于售價(jià)減去進(jìn)價(jià)即可求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出一周的銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而增大時(shí)，銷售單價(jià)的范圍.

根據(jù)當(dāng)x≥70時(shí)，一周的銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而減小，將x＝75代入（2）中的關(guān)系式求解即可.

（1）設(shè)y＝kx+b，由題意得：，解得：，則函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x+1000，（x≥50）

（2）由題意得：S＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）

＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000．

∵﹣10＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線x＝70，∴當(dāng)50＜x＜70時(shí)，銷售利潤隨著銷售單價(jià)的增大而增大；

（3）∵由40（﹣10x+1000）≤10000

解得x≥75

又由于最大進(jìn)貨量為：y＝10000÷40＝250

由題意可知，當(dāng)x＝75時(shí)，可以銷售250件商品，結(jié)合圖形，故此時(shí)利潤最大．

S＝250×（75﹣40）＝8750（元）

故該商家在10000元內(nèi)的進(jìn)貨條件下，最大捐款為8750元．