Question

3．如圖，在y軸正半軸上依次截取OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1（n為正整數(shù)），過點A₁，A₂，A₃，…，A_n分別作y軸的垂線，與反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）交于P₁，P₂，P₃，…，P_n，連接P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_n-1P_n，過點P₂、P₃、…、P_n分別向P₁A₁、P₂A₂、…、P_n-1A_n-1作垂線段，構(gòu)成一列三角形（見圖中陰影部分），記這一系列三角形的面積分別為S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=1-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 由OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1可知P₁點的坐標(biāo)為（x₁，1），P₂點的坐標(biāo)為（x₂，2），P₃點的坐標(biāo)為（x₃，3）…P_n點的坐標(biāo)為（x_n，n），把y=1，y=2，y=3…y=n代入反比例函數(shù)的解析式即可求出x₁、x₂、x₃…x_n的值，再由三角形的面積公式可得出S₁、S₂、S₃…S_n-1的值，故可得出結(jié)論．

解答 解：∵OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n=1，
∴設(shè)P₁（x₁，1），P₂（x₂，2），P₃（x₃，3），…P_n（x_n，n），
∵P₁，P₂，P₃…Pn在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴x₁=2，x₂=1，x₃=$\frac{2}{3}$…x_n=$\frac{2}{n}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×（x₁-x₂）×1=$\frac{1}{2}$×1×（2-1）=1-$\frac{1}{2}$；
S₂=$\frac{1}{2}$×1×（x₂-x₃）=$\frac{1}{2}$×1×（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
S₃=$\frac{1}{2}$×1×（x₃-x₄）=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；
…
S_n-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{n-1}$-$\frac{2}{n}$），
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$．
故答案為：1-$\frac{1}{n}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．