Question

在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、DC、AC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）若四邊形EFGH是矩形，求證：∠ADC+∠BCD=90°．

Answer 1

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形

專題：證明題

分析：（1）利用三角形中位線定理得出EF=

1

2

AD，F(xiàn)G=

1

2

BC，GH=

1

2

AD，HE=

1

2

BC，進(jìn)而求出即可；
（2）利用矩形的性質(zhì)∠ADC+∠BCD=∠HGC+∠FGD，進(jìn)而求出即可．

解答：證明：（1）∵E、F、G、H分別是AB、BD、DC、AC的中點(diǎn)，
∴EF、FG、GH、HE分別是△ABD、△BDC、△ADC、△ABC的中位線，
∴EF=

1

2

AD，F(xiàn)G=

1

2

BC，GH=

1

2

AD，HE=

1

2

BC，
∴EF=GH，F(xiàn)G=EH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）由（1）可得，F(xiàn)G∥BC，GH∥AD，
故∠ADC=∠HGC，∠BCD=∠FGD，
∵四邊形EFGH是矩形，∴∠FGH=90°，
∴∠ADC+∠BCD=∠HGC+∠FGD=180°-∠FGH=90°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形和矩形的判定，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．