Question

【題目】如圖所示，正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開(kāi)后折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)E，G，連接GF，給出下列結(jié)論：

①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，則正方形ABCD的面積是6+4 ，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）

A. 2個(gè)B. 4個(gè)C. 3個(gè)D. 5個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)四邊形ABCD為正方形，以及折疊的性質(zhì)，可以直接得到∠ADG的角度，以及AE=FE，在△BEF中，EF＜BE，可以得到2AE＜AB，結(jié)合三角函數(shù)的定義對(duì)②作出判斷；

在△AGD和△OGD中高相等，底不同，可以直接判斷其大小，而四邊形AEFG是菱形的判定需證得AE=EF=GF=AG；

要計(jì)算OG和BE的關(guān)系，我們需利用到中間量EF，即四邊形AEFG的邊長(zhǎng)，可以轉(zhuǎn)化出BE和OG的關(guān)系；

當(dāng)已知△OGF的面積時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可以求得OG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BE的長(zhǎng)度，而AE的長(zhǎng)度與GF相同，GF可由勾股定理得出，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)度，正方形ABCD的面積也出來(lái)了.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°.

由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG=∠ADO=22.5°，故①正確；

∵由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB，

∴＞2.故②錯(cuò)誤；

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG.

∵△AGD與△OGD同高，

∴S△AGD＞S△OGD.故③錯(cuò)誤；

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE.

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF.

∵AE=EF，

∴AE=GF.

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四邊形AEFG是菱形，故④正確；

∵四邊形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

∴EF=GF=OG，

∴BE=EF=×OG=2OG.故⑤正確；

∵四邊形AEFG是菱形，

∴AB∥GF，AB=GF.

∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，

∴△OGF是等腰直角三角形.

∵S△OGF=1，

∴ OG=1，

解得OG=，

∴BE=2OG=2，

GF=，

∴AE=GF=2，

∴AB=BE+AE=2+2，

∴S四邊形ABCD=AB =(2 +2) =12+8 .故⑥錯(cuò)誤.

∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是①④⑤，共3個(gè).

故選C.