Question

操作：在△ABC中，AC=BC=4

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，∠C=90°．將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板自兩直角邊分別交射線AC、射線CB于D、E兩點(diǎn)，如右圖，①、②、③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的其中三種．

探究：（1）三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，觀察線段PD與PE之間有什么大小關(guān)系？它們的關(guān)系表示為

 

并以圖②為例，加以證明；
（2）三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)△PBE是否能成為等腰三角形，若能，指出所有的情況（即求出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)圖形可猜測(cè)PD=PE，從而連接CP，通過(guò)證明△PCD≌△PEB，可得出結(jié)論．
（2）題目只要求是等腰三角形，所以需要分三種情況進(jìn)行討論，這樣每一種情況下的CE的長(zhǎng)也就不難得出．

解答：解：（1）相等關(guān)系，PD=PE．

證明如下，AC=BC，∠C=90°，P為AB中點(diǎn)，連接CP，
∴CP平分∠C，CP⊥AB，
∵∠PCB=∠B=45°，
∴CP=PB，
∵∠DPC+∠CPE=∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠DPC=∠EPB，
在△PDC和△PEB中，

∠DPC=∠EPB CP=PB ∠DCP=∠B

，
∴△PCD≌△PEB（ASA），
∴PD=PE．

（2）△PEB能成為等腰三角形，有以下三種情況：
①當(dāng)CE=0，此時(shí)E和C重合，有PE=PB，△PBE為等腰直角三角形．
②當(dāng)CE=2

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時(shí)，此時(shí)E是BC中點(diǎn)，有PE=EB，△PBE為等腰直角三角形，
③當(dāng)CE=8時(shí)，此時(shí)E在CB的延長(zhǎng)線上，有BE=BP=4，△PBE頂角為135°的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，利用輔助線，分情況討論解本題是關(guān)鍵，解答本題（1）利用全等證明邊相等，（2）討論三種情況注意不要丟解．