Question

【題目】如圖①，已知直線l1、l2，直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D，在直線l3上有動(dòng)點(diǎn)P（點(diǎn)P與點(diǎn)C、D不重合），點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B在直線l2上．

（1）如果點(diǎn)P在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，且滿足∠1+∠3＝∠2，請(qǐng)寫出l1與l2之間的位置關(guān)系 ；

（2）如圖②如果l1∥l2，點(diǎn)P在直線l1的上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想∠1+∠2與∠3之間關(guān)系并給予證明；

（3）如果l1∥l2，點(diǎn)P在直線l2的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠PAC、∠PBD、∠APB之間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）l1∥l2；（2）∠1+∠2＝∠3；理由見(jiàn)解析；（3）∠APB+∠PBD＝∠PAC．

【解析】

（1）延長(zhǎng)BP交AC于E，則∠2為△APE的外角，所以∠2＝∠1+∠AEP，又因?yàn)椤?/span>2＝∠1+∠3，等量代換∠3＝∠AEP，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，可知l1∥l2，（2）同（1）利用三角形的外角性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得∠1+∠2＝∠3，（3）過(guò)點(diǎn)P作PF∥l1，根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行，可得PF∥l2，再由平行線的性質(zhì)進(jìn)而可得∠APB+∠PBD＝∠PAC．

證明：（1）l1∥l2.理由如下，

如圖①，延長(zhǎng)BP交AC于E，

∵∠2＝∠1+∠3，∠2＝∠1+∠AEP，

∴∠3＝∠AEP，

∴l1∥l2，

故答案為：l1∥l2.

（2）如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠1+∠2＝∠3，

理由是：∵l1∥l2，

∴∠CEP＝∠3

∵∠CEP＝∠1+∠2，

∴∠1+∠2＝∠3.

（3）如圖③所示，當(dāng)點(diǎn)P在直線l2的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB+∠PBD＝∠PAC．

理由：過(guò)點(diǎn)P作PF∥l1，

∠FPA＝∠1．

∵l1∥l2，

∴PF∥l2，

∴∠FPB＝∠3，

∴∠FPA＝∠2+∠FPB＝∠2+∠3.

即∠APB+∠PBD＝∠PAC．